Équations différentielles

1. Établir une équation différentielle

En physique et en chimie, l'évolution temporelle de nombreux systèmes (décharge d'un condensateur, chute d'un corps avec frottements, décroissance radioactive) est modélisée par une relation mathématique liant une grandeur physique et ses dérivées par rapport au temps.

Équation différentielle

Une équation différentielle est une équation mathématique dont l'inconnue est une fonction (généralement notée \( y(t) \), \( u(t) \), ou \( v(t) \)) et qui relie cette fonction à ses dérivées successives (comme \( \frac{dy}{dt} \), \( \frac{d^2y}{dt^2} \)). L'ordre de l'équation correspond au degré le plus élevé de dérivation (une équation du premier ordre ne fait intervenir que la fonction et sa dérivée première).

Pour établir une équation différentielle, on s'appuie toujours sur une loi fondamentale de la physique : - En mécanique : La deuxième loi de Newton. - En électricité : La loi des mailles et la loi des nœuds. - En cinétique ou nucléaire : Les bilans de matière ou de population.

Établir l'équation différentielle d'un circuit RC

On considère un circuit en série comportant un générateur de tension idéale \( E \), un résistor de résistance \( R \) et un condensateur de capacité \( C \).
À \( t = 0 \), on ferme l'interrupteur.

Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur \( u_C(t) \).

Corrigé

D'après la loi des mailles : \( E = u_R(t) + u_C(t) \)
D'après la loi d'Ohm pour le résistor : \( u_R(t) = R \times i(t) \)

On sait que l'intensité du courant est la dérivée de la charge : \( i(t) = \frac{dq}{dt} \)
Et que la charge du condensateur est liée à la tension : \( q(t) = C \times u_C(t) \)

En combinant ces relations, on obtient \( i(t) = C \times \frac{du_C}{dt} \).
L'équation de la maille devient donc : \( E = R \times C \frac{du_C}{dt} + u_C(t) \)

C'est l'équation différentielle du premier ordre vérifiée par \( u_C(t) \).

2. Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation du premier ordre

Il n'est pas toujours nécessaire de résoudre mathématiquement l'équation de zéro. Très souvent, on vous propose une forme de solution (ou on vous la donne directement) et il faut vérifier qu'elle satisfait bien l'équation différentielle établie.

Méthode :

1. On exprime la dérivée de la fonction proposée par rapport au temps.
2. On remplace la fonction et sa dérivée dans l'équation différentielle.
3. On vérifie que l'égalité est respectée quel que soit l'instant \( t \).

Vérification d'une solution

Soit l'équation différentielle caractérisant la tension d'un condensateur en charge :

\[ R \times C \frac{du_C}{dt} + u_C(t) = E \]

Vérifier que la fonction \( u_C(t) = E \times \left(1 - e^{-\frac{t}{R C}}\right) \) est solution de cette équation différentielle.

Corrigé

On dérive la fonction proposée par rapport au temps : \( u_C(t) = E - E \times e^{-\frac{t}{R C}} \)

La dérivée d'une fonction de la forme \( e^{u} \) est \( u' e^{u} \), donc :
\( \frac{du_C}{dt} = 0 - E \times \left( -\frac{1}{R C} \right) e^{-\frac{t}{R C}} = \frac{E}{R C} e^{-\frac{t}{R C}} \)

On remplace \( u_C \) et \( \frac{du_C}{dt} \) dans le membre de gauche de l'équation différentielle :
\( R \times C \left( \frac{E}{R C} e^{-\frac{t}{R C}} \right) + E \left(1 - e^{-\frac{t}{R C}}\right) \)
\( = E \times e^{-\frac{t}{R C}} + E - E \times e^{-\frac{t}{R C}} \)
\( = E \)

On retrouve bien le membre de droite (\( E \)) pour tout \( t \). La fonction est donc bien solution.

3. Résoudre une équation différentielle du premier ordre

Parfois, il faut déterminer soi-même l'expression de la solution générale, puis utiliser les conditions initiales pour trouver la solution particulière correspondant à la situation physique.

Solution d'une équation différentielle linéaire du 1er ordre à coefficients constants

Une équation différentielle de la forme : \( \frac{dy}{dt} = a \times y(t) + b \)
a pour solution générale : \( y(t) = K \times e^{a \times t} - \frac{b}{a} \)
où \( K \) est une constante réelle qui se détermine grâce aux conditions initiales (valeur de \( y \) à \( t = 0 \)).

Méthode de résolution pas à pas :

1. Mettre l'équation différentielle sous la forme mathématique standard \( \frac{dy}{dt} = a y + b \).
2. Identifier les constantes \( a \) et \( b \).
3. Écrire la forme de la solution générale avec la constante \( K \).
4. Utiliser la condition initiale \( y(0) \) pour calculer \( K \).

Résolution mathématique

Lors de la chute d'une bille dans un fluide avec une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse, l'équation différentielle vérifiée par la vitesse \( v(t) \) s'écrit :

\[ \frac{dv}{dt} = - \frac{k}{m} v(t) + g \]

La bille est lâchée sans vitesse initiale à \( t = 0 \).

Résoudre cette équation différentielle pour trouver l'expression de \( v(t) \).

Corrigé

On identifie la forme \( \frac{dv}{dt} = a \times v(t) + b \) avec :

• \( a = - \frac{k}{m} \)
• \( b = g \)

La solution générale s'écrit donc :
\( v(t) = K e^{-\frac{k}{m}t} - \frac{g}{-\frac{k}{m}} \)
\( v(t) = K e^{-\frac{k}{m}t} + \frac{m \times g}{k} \)

On utilise la condition initiale : à \( t = 0 \), \( v(0) = 0 \).
\( 0 = K e^{0} + \frac{m \times g}{k} \)
\( K = - \frac{m \times g}{k} \)

La solution finale est donc :
\( v(t) = - \frac{m \times g}{k} e^{-\frac{k}{m}t} + \frac{m \times g}{k} \)
\( v(t) = \frac{m \times g}{k} \left( 1 - e^{-\frac{k}{m}t} \right) \)

Exercices d'application

Décroissance radioactive

L'activité \( A(t) \) d'un échantillon radioactif vérifie l'équation différentielle \( \frac{dA}{dt} + \lambda A(t) = 0 \)

Sachant que l'activité initiale est \( A_0 \), déterminer l'expression de \( A(t) \).

Corrigé

On réécrit l'équation : \( \frac{dA}{dt} = - \lambda A(t) \).
C'est une équation de la forme \( y' = a y + b \) avec \( a = -\lambda \) et \( b = 0 \).
La solution générale est \( A(t) = K e^{-\lambda t} \).
À \( t = 0 \), \( A(0) = A_0 \), donc \( K e^{0} = A_0 \Rightarrow K = A_0 \).
La solution est : \( A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \).

Circuit RL

Dans un circuit comprenant une bobine de constructeur (inductance \( L \)) et une résistance totale \( R \) soumis à un échelon de tension \( E \), l'intensité du courant vérifie :

\[ L \frac{di}{dt} + R \times i(t) = E \]

On propose la solution \( i(t) = A + B e^{-\frac{t}{\tau}} \).

1. Que doit valoir \( \tau \) et \( A \) pour que cette fonction soit solution de l'équation ?
2. Déterminer \( B \) sachant qu'à \( t=0 \), l'intensité est nulle.

Corrigé

1. On dérive la solution : \( \frac{di}{dt} = - \frac{B}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} \).
   On injecte dans l'équation :
   
   \( L \left( - \frac{B}{\tau} e^{-\frac{t}{\tau}} \right) + R \left( A + B e^{-\frac{t}{\tau}} \right) = E \)
   
   \( B e^{-\frac{t}{\tau}} \left( R - \frac{L}{\tau} \right) + R \times A = E \)
   
   Pour que cela soit vrai à tout instant \( t \), il faut annuler le terme en exponentielle :
   \( R - \frac{L}{\tau} = 0 \Rightarrow \tau = \frac{L}{R} \)
   Et le terme constant doit correspondre :
   \( R \times A = E \Rightarrow A = \frac{E}{R} \).
2. Condition initiale : \( i(0) = 0 \).
   \( i(0) = A + B e^{0} = A + B = 0 \Rightarrow B = -A = -\frac{E}{R} \)
   La solution complète est : \( i(t) = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L} t} \right) \).

Erreurs fréquentes

• Oublier d'isoler la dérivée (mettre le coefficient devant \( \frac{dy}{dt} \) à 1) avant d'identifier les coefficients \( a \) et \( b \) pour la formule générale du cours de mathématiques.
• Oublier la dérivée de la fonction interne (règle de la chaîne) en dérivant une exponentielle du type \( e^{-t/\tau} \) : la dérivée est \( -\frac{1}{\tau} e^{-t/\tau} \) et non \( e^{-t/\tau} \).
• Confondre la variable indépendante (\( t \)) avec les constantes du problème (\( R, C, L, m, k, \dots \)).
• Oublier d'utiliser les conditions initiales physiques à \( t = 0 \) pour déterminer la valeur exacte des constantes de la solution mathématique.