Caractériser les phénomènes ondulatoires

1. Niveau d'intensité sonore et atténuation

L'oreille humaine est sensible à une très large gamme d'intensités sonores. Pour modéliser cette perception qui n'est pas linéaire, on utilise une échelle logarithmique.

Intensité sonore et niveau d'intensité sonore

L'intensité sonore, notée \( I \), correspond à la puissance de l'onde sonore par unité de surface. Elle s'exprime en watt par mètre carré (\( \text{W}\cdot\text{m}^{-2} \)).

Le niveau d'intensité sonore, noté \( L \) (pour Level), s'exprime en décibel (dB) et est défini par la relation :

\( L = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right) \)

Avec :

• \( I \) : intensité sonore de l'onde en \( \text{W}\cdot\text{m}^{-2} \)
• \( I_0 = 1,0 \times 10^{-12} \text{ W}\cdot\text{m}^{-2} \) : intensité sonore de référence (seuil d'audibilité moyenne)
• \( \log \) : fonction logarithme décimal.

On peut retrouver l'intensité sonore à partir du niveau d'intensité sonore en utilisant la fonction réciproque du logarithme décimal :

\( I = I_0 \cdot 10^{\frac{L}{10}} \)

Calcul de niveau d'intensité sonore

Lors d'un concert, l'intensité sonore perçue à une certaine distance des enceintes est \( I = 1,0 \times 10^{-2} \text{ W}\cdot\text{m}^{-2} \).

1. Calculer le niveau d'intensité sonore \( L \) correspondant.
2. Si une deuxième enceinte identique joue le même son en même temps, la nouvelle intensité sonore est doublée
   (\( I' = 2 \cdot I \)). Calculer le nouveau niveau d'intensité sonore \( L' \). Que remarque-t-on ?

Corrigé

1. On applique la formule : \( L = 10 \cdot \log\left(\frac{1,0 \times 10^{-2}}{1,0 \times 10^{-12}}\right) = 10 \cdot \log(10^{10}) = 100 \text{ dB} \)

2. La nouvelle intensité est \( I' = 2,0 \times 10^{-2} \text{ W}\cdot\text{m}^{-2} \).
   \( L' = 10 \cdot \log\left(\frac{2,0 \times 10^{-2}}{1,0 \times 10^{-12}}\right) \approx 103 \text{ dB} \)
   On remarque que lorsque l'intensité sonore double, le niveau d'intensité sonore n'augmente que de 3 dB.

Au cours de sa propagation, une onde sonore voit son niveau d'intensité sonore diminuer. C'est ce qu'on appelle l'atténuation, notée \( A \) et exprimée en décibel (dB).
On distingue deux causes principales :

• L'atténuation géométrique : l'énergie de l'onde se répartit sur une surface de plus en plus grande au fur et à mesure qu'elle s'éloigne de la source.
• L'atténuation par absorption : une partie de l'énergie de l'onde est absorbée par le milieu de propagation (air, mur, casque antibruit) et convertie en énergie thermique.

Atténuation sonore

L'atténuation \( A \) entre deux points éloignés ou de part et d'autre d'un matériau isolant est la différence entre le niveau d'intensité sonore incident \( L_{incident} \) et le niveau transmis \( L_{transmis} \) :

\( A = L_{incident} - L_{transmis} \)

2. La diffraction

Lorsqu'une onde rencontre un obstacle ou une ouverture de petite dimension, sa direction de propagation est modifiée.

Diffraction

La diffraction est le phénomène de modification de la direction de propagation d'une onde lorsqu'elle rencontre un obstacle ou une ouverture. Elle se manifeste d'autant plus que la dimension de l'obstacle ou de l'ouverture (\( a \)) se rapproche de la longueur d'onde (\( \lambda \)).

Pour une onde lumineuse traversant une fente rectangulaire de largeur \( a \), on observe sur un écran une figure constituée d'une tache centrale brillante, deux fois plus large que les taches secondaires, séparées par des zones d'extinction.

Angle caractéristique de diffraction

L'angle caractéristique de diffraction \( \theta \) (demi-largeur angulaire de la tache centrale) est donné par :

\( \theta = \frac{\lambda}{a} \)

Avec :

• \( \theta \) : écart angulaire en radian (rad)
• \( \lambda \) : longueur d'onde en mètre (m)
• \( a \) : taille de l'ouverture ou de l'obstacle en mètre (m)

Diffraction de la lumière

Un faisceau laser de longueur d'onde \( \lambda = 633 \text{ nm} \) éclaire une fente de largeur \( a = 0,10 \text{ mm} \).

1. Calculer l'angle caractéristique de diffraction \( \theta \).
2. La figure de diffraction est observée sur un écran placé à une distance \( D = 2,0 \text{ m} \).
   En utilisant l'approximation pour les petits angles (\( \tan \theta \approx \theta \)), exprimer puis calculer la largeur \( L \) de la tache centrale.

Corrigé

1. On convertit les unités en mètres : \( \theta = \frac{633 \times 10^{-9}}{0,10 \times 10^{-3}} = 6,33 \times 10^{-3} \text{ rad} \)

2. D'après la géométrie de la situation, \( \tan(\theta) = \frac{L / 2}{D} \).
   Avec l'approximation des petits angles : \( \theta \approx \frac{L}{2D} \Rightarrow L = 2 \cdot \theta \cdot D \)
   Application numérique : \( L = 2 \times 6,33 \times 10^{-3} \times 2,0 = 2,5 \times 10^{-2} \text{ m} = 2,5 \text{ cm} \).

3. Les interférences

Lorsque deux ondes se superposent dans l'espace, elles peuvent s'additionner ou s'annuler : c'est le phénomène d'interférences.

Conditions d'observation

Pour obtenir des interférences stables et observables, les deux ondes doivent être synchrones (même fréquence) et cohérentes (déphasage constant dans le temps). En pratique, on utilise souvent une seule source que l'on dédouble (par exemple avec les fentes de Young).

L'état d'interférence en un point de l'espace dépend de la différence de distance parcourue par les deux ondes pour atteindre ce point.

Différence de chemin (ou différence de marche)

La différence de marche en un point \( M \), notée \( \delta \), est la différence des distances parcourues par les ondes issues des sources \( S_1 \) et \( S_2 \) :

\( \delta = |S_2M - S_1M| \)

On distingue deux cas extrêmes :

• Interférences constructives : les ondes arrivent en phase (les crêtes coïncident). L'amplitude résultante est maximale. Condition : \( \delta = k \cdot \lambda \) (avec \( k \) un nombre entier : \( k \in \mathbb{Z} \)).
• Interférences destructives : les ondes arrivent en opposition de phase (une crête coïncide avec un creux). L'amplitude résultante est minimale, voire nulle.
  Condition : \( \delta = \left(k + \frac{1}{2}\right) \cdot \lambda \).

Condition d'interférences

Deux haut-parleurs \( H_1 \) et \( H_2 \) émettent en phase un même signal sonore de fréquence \( f = 680 \text{ Hz} \). La célérité du son dans l'air est \( v = 340 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \).
Un microphone \( M \) est placé tel que \( H_1M = 2,50 \text{ m} \) et \( H_2M = 3,25 \text{ m} \).

L'interférence au point M est-elle constructive ou destructive ?

Corrigé

1. On calcule la longueur d'onde du signal : \( \lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{680} = 0,50 \text{ m} \)

2. On calcule la différence de marche : \( \delta = H_2M - H_1M = 3,25 - 2,50 = 0,75 \text{ m} \)

3. On cherche la relation entre \( \delta \) et \( \lambda \) : \( \frac{\delta}{\lambda} = \frac{0,75}{0,50} = 1,5 \)
   On en déduit que \( \delta = 1,5 \cdot \lambda = \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \lambda \). Ici \( k = 1 \). La condition \( \delta = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda \) est vérifiée : les interférences au point M sont donc destructives. Le microphone n'enregistrera pratiquement aucun son.

Exercices d'application

Exercice 1 : Isolation phonique

Une paroi acoustique a une atténuation par absorption \( A = 25 \text{ dB} \). Une machine outil génère un niveau d'intensité sonore de \( 95 \text{ dB} \).

Quel sera le niveau d'intensité sonore perçu par un opérateur placé derrière cette paroi ? Est-il en danger (seuil de danger : 85 dB) ?

Corrigé

L'atténuation est définie par \( A = L_{incident} - L_{transmis} \).
On isole \( L_{transmis} \) : \( L_{transmis} = L_{incident} - A = 95 - 25 = 70 \text{ dB} \).
Le niveau perçu est de 70 dB, ce qui est inférieur au seuil de danger de 85 dB. L'opérateur n'est pas en danger.

Exercice 2 : Lecture de figure de diffraction

La lumière d'un laser (longueur d'onde inconnue) traverse un fil calibré de diamètre \( a = 60 \text{ \mu m} \). Sur un écran placé à \( D = 3,0 \text{ m} \), la tache centrale mesure \( L = 5,4 \text{ cm} \).

Déterminer la valeur de la longueur d'onde du laser.

Corrigé

On sait que \( \theta = \frac{\lambda}{a} \) et que \( \theta \approx \frac{L}{2D} \).
On peut donc écrire : \( \frac{\lambda}{a} = \frac{L}{2D} \) d'où \( \lambda = \frac{a \cdot L}{2D} \).

Application numérique (attention aux unités) :
\( \lambda = \frac{60 \times 10^{-6} \times 5,4 \times 10^{-2}}{2 \times 3,0} = 5,4 \times 10^{-7} \text{ m} = 540 \text{ nm} \).
Le laser émet une lumière verte de 540 nm.

Erreurs fréquentes

• Oublier que dans la formule du niveau d'intensité sonore, le doublement de l'intensité sonore \( I \) ne double pas \( L \), mais lui ajoute environ 3 dB.
• Oublier de convertir toutes les grandeurs de longueur en mètres (m) lors des calculs d'angles de diffraction.
• Confondre la largeur totale de la tache centrale \( L \) avec le demi-écartement \( \frac{L}{2} \) dans l'approximation \( \tan \theta \approx \theta \). L'angle \( \theta \) ne représente que la "moitié" de la largeur angulaire de la tache centrale.
• Confondre la relation de déphasage ou différence de marche : interférence constructive veut dire \( \delta \) multiple entier de \( \lambda \), et destructive un multiple demi-entier.