Caractériser les phénomènes ondulatoires

0. Rappels de 1^ere

Une onde correspond à la propagation d'une perturbation sans transport de matière.
localement, la matière peut bouger comme dans le cas de la houle en mer, mais globalement les molécules d'eau ou le bateau qu'elles supportent revient à sa position initiale.

a) Période T, célérité c, longueur d'onde λ

On le voit sur l'image précédente, les vagues sont des phénomènes périodiques : régulièrement un bouchon à la surface de l'eau se retrouvera à la même altitude au bout d'un certain temps appelé période \(T\).

On appelle célérité \(c\) la vitesse à laquelle une onde se propage.

Comme une onde périodique se répète et se propage, il est possible de définir la longueur d'onde \(\lambda\) qui correspond à la distance parcourue par une onde durant une période \(T\) :

le déplacement	la longueur d'onde

Étude du séisme du 24/06/2026 au Venezuela

Ce jour là, le Venezuela a été touché par un séisme de forte magnitude, et il a été détecté par les nombreuses stations sismiques européennes. Voici une animation partagée par le compte @porsenne sur le réseau Bluesky :

Déterminer :

• La période
• La célérité
• La longueur d'onde \(\lambda\) de l'onde sismiques

Corrigé

On voit l'onde se propager le long du réseau de sismomètres.

• A 22h16min19s, un signal fort (rouge) apparaît au niveau du Finistère. Le rouge réapparaît à 22h16min38s → la période est de 19s
• A 22h17min10s, le signal initial est maintenant au niveau d'une ligne Nord-Sud allant du Danemark à la Sardaigne. La distance au Finistère est de 940km : la célérité de surface est de \(c = \frac{d}{t} = \frac{940km}{51s} = 18km \cdot s^{-1}\)
• La longueur est donc de \(\lambda = c \times T = 18km\cdot s^{-1} times 19s = 342 km\)

1. Niveau d'intensité sonore et atténuation

L'oreille humaine est sensible à une très large gamme d'intensités sonores. Pour modéliser cette perception qui n'est pas linéaire, on utilise une échelle logarithmique.

Intensité sonore et niveau d'intensité sonore

L'intensité sonore, notée \( I \), correspond à la puissance de l'onde sonore par unité de surface. Elle s'exprime en watt par mètre carré (\( \text{W}\cdot\text{m}^{-2} \)).

Le niveau d'intensité sonore, noté \( L \) (pour Level), s'exprime en décibel (dB) et est défini par la relation :

\[ L = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right) \]

Avec :

• \( I \) : intensité sonore de l'onde en \( \text{W}\cdot\text{m}^{-2} \)
• \( I_0 = 1,0 \times 10^{-12} \text{ W}\cdot\text{m}^{-2} \) : intensité sonore de référence (seuil d'audibilité moyenne)
• \( \log \) : fonction logarithme décimal.

On peut retrouver l'intensité sonore à partir du niveau d'intensité sonore en utilisant la fonction réciproque du logarithme décimal :

\[ I = I_0 \cdot 10^{\frac{L}{10}} \]

Calcul de niveau d'intensité sonore

Lors d'un concert, l'intensité sonore perçue à une certaine distance des enceintes est \( I = 1,0 \times 10^{-2} \text{ W}\cdot\text{m}^{-2} \).

1. Calculer le niveau d'intensité sonore \( L \) correspondant.
2. Si une deuxième enceinte identique joue le même son en même temps, la nouvelle intensité sonore est doublée
   (\( I' = 2 \cdot I \)). Calculer le nouveau niveau d'intensité sonore \( L' \). Que remarque-t-on ?

Corrigé

1. On applique la formule : \( L = 10 \cdot \log\left(\frac{1,0 \times 10^{-2}}{1,0 \times 10^{-12}}\right) = 10 \cdot \log(10^{10}) = 100 \text{ dB} \)

2. La nouvelle intensité est \( I' = 2,0 \times 10^{-2} \text{ W}\cdot\text{m}^{-2} \).
   \( L' = 10 \cdot \log\left(\frac{2,0 \times 10^{-2}}{1,0 \times 10^{-12}}\right) \approx 103 \text{ dB} \)
   On remarque que lorsque l'intensité sonore double, le niveau d'intensité sonore n'augmente que de 3 dB.

Echelle et repères d'intensité sonore L

Au cours de sa propagation, une onde sonore voit son niveau d'intensité sonore diminuer. C'est ce qu'on appelle l'atténuation, notée \( A \) et exprimée en décibel (dB).
On distingue deux causes principales :

• L'atténuation géométrique : l'énergie de l'onde se répartit sur une surface de plus en plus grande au fur et à mesure qu'elle s'éloigne de la source.
  La surface sur laquelle se répartit l'énergie de l'onde dépend des conditions, mais dans un espace libre à une distance \( R \) de la source, la surface \( S \) correspond à celle de la sphère centrée sur la source et de rayon \( R \).
  On a donc \(S = 4 \pi R^2\)
  → à une distance 2 fois plus grande, l'intensité est 4 fois plus faible.
• L'atténuation par absorption : une partie de l'énergie de l'onde est absorbée par le milieu de propagation (air, mur, casque antibruit) et convertie en énergie thermique.

Atténuation sonore

L'atténuation \( A \) entre deux points éloignés ou de part et d'autre d'un matériau isolant est la différence entre le niveau d'intensité sonore incident \( L_{incident} \) et le niveau transmis \( L_{transmis} \) :

\[ A = L_{incident} - L_{transmis} \]

2. La diffraction

Lorsqu'une onde rencontre un obstacle ou une ouverture de petite dimension, sa direction de propagation est modifiée.

La baie de Saint Martin de Porto au Portugal, célèbre pour sa diffraction des vagues

Diffraction

La diffraction est le phénomène de modification de la direction de propagation d'une onde lorsqu'elle rencontre un obstacle ou une ouverture. Elle se manifeste d'autant plus que la dimension de l'obstacle ou de l'ouverture (\( a \)) se rapproche de la longueur d'onde (\( \lambda \)).

Pour une onde lumineuse traversant une fente rectangulaire de largeur \( a \), on observe sur un écran une figure constituée d'une tache centrale brillante, deux fois plus large que les taches secondaires, séparées par des zones d'extinction.

Angle caractéristique de diffraction

L'angle caractéristique de diffraction \( \theta \) (demi-largeur angulaire de la tache centrale) est donné par :

\[ \theta = \frac{\lambda}{a} \]

Avec :

• \( \theta \) : écart angulaire en radian (rad)
• \( \lambda \) : longueur d'onde en mètre (m)
• \( a \) : taille de l'ouverture ou de l'obstacle en mètre (m)

Diffraction de la lumière

Un faisceau laser de longueur d'onde \( \lambda = 633 \text{ nm} \) éclaire une fente de largeur \( a = 0,10 \text{ mm} \).

1. Calculer l'angle caractéristique de diffraction \( \theta \).
2. La figure de diffraction est observée sur un écran placé à une distance \( D = 2,0 \text{ m} \).
   En utilisant l'approximation pour les petits angles (\( \tan \theta \approx \theta \)), exprimer puis calculer la largeur \( L \) de la tache centrale.

Corrigé

1. On convertit les unités en mètres : \( \theta = \frac{633 \times 10^{-9}}{0,10 \times 10^{-3}} = 6,33 \times 10^{-3} \text{ rad} \)

2. D'après la géométrie de la situation, \( \tan(\theta) = \frac{L / 2}{D} \).
   Avec l'approximation des petits angles : \( \theta \approx \frac{L}{2D} \Rightarrow L = 2 \cdot \theta \cdot D \)
   Application numérique : \( L = 2 \times 6,33 \times 10^{-3} \times 2,0 = 2,5 \times 10^{-2} \text{ m} = 2,5 \text{ cm} \).

3. Les interférences

Lorsque deux ondes se superposent dans l'espace, elles peuvent s'additionner ou s'annuler : c'est le phénomène d'interférences.

Conditions d'observation

Pour obtenir des interférences stables et observables, les deux ondes doivent être synchrones (même fréquence) et cohérentes (déphasage constant dans le temps). En pratique, on utilise souvent une seule source que l'on dédouble (par exemple avec les fentes de Young).

L'état d'interférence en un point de l'espace dépend de la différence de distance parcourue par les deux ondes pour atteindre ce point.

Différence de chemin (ou différence de marche)

La différence de marche en un point \( P \), notée \( \delta \), est la différence des distances parcourues par les ondes issues des sources \( S_1 \) et \( S_2 \) :

\[ \delta = |S_2P - S_1P| \]

On distingue deux cas extrêmes :

• Interférences constructives : les ondes arrivent en phase (les crêtes coïncident). L'amplitude résultante est maximale. Condition : \( \delta = k \cdot \lambda \) (avec \( k \) un nombre entier : \( k \in \mathbb{Z} \)).
• Interférences destructives : les ondes arrivent en opposition de phase (une crête coïncide avec un creux). L'amplitude résultante est minimale, voire nulle.
  Condition : \( \delta = \left(k + \frac{1}{2}\right) \cdot \lambda \).

Relation avec écran à l'infini

La représentation précédente ne permet pas facilement de trouver une relation entre la distance de la première interférence constructive \(i\), en revanche il est possible de faire une hypothèse simplificatrice :

Si on considère que l'écran est "infiniment" éloigné des fentes, le schéma au voisinage de celles-ci devient :

En effet, si l'écran est à l'infini, alors on peut considérer que les 2 rayons issus des fentes sont parallèles et sont orientés avec le même angle \(\theta\).
La différence de parcours \(\lambda\) est alors liée à l'écart entre les 2 fentes \(a\) selon : \(\delta=a \cdot \sin{\theta}\).
Si l'on considère que \(\theta \ll 1\), on peut écrire que \(\sin{\theta} \approx \theta\) et donc \(\delta=a \times \theta\).

Comme dans la situation d'une interférence constructive on a \(\delta=k \times \lambda\) et que l'on s'intéresse et à la 1^ère interférence (\(k=1\)) , on obtient finalement \(\lambda=a \times \theta\), soit :

\[ \theta = \frac{\lambda}{a} \]

À faire :

En vous basant sur cet exemple, essayer de déterminer la largeur de la tache centrale, définie par la distance entre les 2 première interférences destructrices vers le haut et vers le bas...

Condition d'interférences

Deux haut-parleurs \( H_1 \) et \( H_2 \) émettent en phase un même signal sonore de fréquence \( f = 680 \text{ Hz} \). La célérité du son dans l'air est \( v = 340 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \).
Un microphone \( M \) est placé tel que \( H_1M = 2,50 \text{ m} \) et \( H_2M = 3,25 \text{ m} \).

L'interférence au point M est-elle constructive ou destructive ?

Corrigé

1. On calcule la longueur d'onde du signal : \( \lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{680} = 0,50 \text{ m} \)

2. On calcule la différence de marche : \( \delta = H_2M - H_1M = 3,25 - 2,50 = 0,75 \text{ m} \)

3. On cherche la relation entre \( \delta \) et \( \lambda \) : \( \frac{\delta}{\lambda} = \frac{0,75}{0,50} = 1,5 \)
   On en déduit que \( \delta = 1,5 \cdot \lambda = \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \lambda \). Ici \( k = 1 \). La condition \( \delta = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda \) est vérifiée : les interférences au point M sont donc destructives. Le microphone n'enregistrera pratiquement aucun son.

Exercices d'application

Exercice 1 : Isolation phonique

Une paroi acoustique a une atténuation par absorption \( A = 25 \text{ dB} \). Une machine outil génère un niveau d'intensité sonore de \( 95 \text{ dB} \).

Quel sera le niveau d'intensité sonore perçu par un opérateur placé derrière cette paroi ? Est-il en danger (seuil de danger : 85 dB) ?

Corrigé

L'atténuation est définie par \( A = L_{incident} - L_{transmis} \).
On isole \( L_{transmis} \) : \( L_{transmis} = L_{incident} - A = 95 - 25 = 70 \text{ dB} \).
Le niveau perçu est de 70 dB, ce qui est inférieur au seuil de danger de 85 dB. L'opérateur n'est pas en danger.

Exercice 2 : Lecture de figure de diffraction

La lumière d'un laser (longueur d'onde inconnue) traverse un fil calibré de diamètre \( a = 60 \text{ \mu m} \). Sur un écran placé à \( D = 3,0 \text{ m} \), la tache centrale mesure \( L = 5,4 \text{ cm} \).

Déterminer la valeur de la longueur d'onde du laser.

Corrigé

On sait que \( \theta = \frac{\lambda}{a} \) et que \( \theta \approx \frac{L}{2D} \).
On peut donc écrire : \( \frac{\lambda}{a} = \frac{L}{2D} \) d'où \( \lambda = \frac{a \cdot L}{2D} \).

Application numérique (attention aux unités) :
\( \lambda = \frac{60 \times 10^{-6} \times 5,4 \times 10^{-2}}{2 \times 3,0} = 5,4 \times 10^{-7} \text{ m} = 540 \text{ nm} \).
Le laser émet une lumière verte de 540 nm.

Erreurs fréquentes

• Oublier que dans la formule du niveau d'intensité sonore, le doublement de l'intensité sonore \( I \) ne double pas \( L \), mais lui ajoute environ 3 dB.
• Oublier de convertir toutes les grandeurs de longueur en mètres (m) lors des calculs d'angles de diffraction.
• Confondre la largeur totale de la tache centrale \( L \) avec le demi-écartement \( \frac{L}{2} \) dans l'approximation \( \tan \theta \approx \theta \). L'angle \( \theta \) ne représente que la "moitié" de la largeur angulaire de la tache centrale.
• Confondre la relation de déphasage ou différence de marche : interférence constructive veut dire \( \delta \) multiple entier de \( \lambda \), et destructive un multiple demi-entier.