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Modéliser l’évolution temporelle d’un système

Le BO

Notions et contenus Capacités exigibles
Activités expérimentales support de la formation
A) Suivre et modéliser l’évolution temporelle d’un système siège d’une transformation chimique
Suivi temporel et modélisation macroscopique
Transformations lentes et rapides.
Facteurs cinétiques :
température, concentration des réactifs.
Catalyse, catalyseur.		 Justifier le choix d’un capteur de suivi temporel de l’évolution d’un système.
Identifier, à partir de données expérimentales, des facteurs cinétiques.
Citer les propriétés d’un catalyseur et identifier un catalyseur à partir de données expérimentales.
Mettre en évidence des facteurs cinétiques et l’effet d’un catalyseur.
Vitesse volumique de disparition d’un réactif et d’apparition d’un produit.
Temps de demi-réaction.		 À partir de données expérimentales, déterminer une vitesse volumique de disparition d’un réactif, une vitesse volumique d’apparition d’un produit ou un temps de demi-réaction.
Mettre en œuvre une méthode physique pour suivre l’évolution d’une concentration et déterminer la vitesse volumique de formation d’un produit ou de disparition d’un réactif.
Loi de vitesse d’ordre 1. Identifier, à partir de données expérimentales, si l’évolution d’une concentration suit ou non une loi de vitesse d’ordre 1.
Capacité numérique : À l’aide d’un langage de programmation et à partir de données expérimentales, tracer l’évolution temporelle d’une concentration, d’une vitesse volumique d’apparition ou de disparition et tester une relation donnée entre la vitesse volumique de disparition et la concentration d’un réactif.
Modélisation microscopique
Mécanisme réactionnel : acte élémentaire, intermédiaire réactionnel, formalisme de la flèche courbe.
Modification du mécanisme par ajout d’un catalyseur.
Interprétation microscopique de l’influence des facteurs cinétiques.		 À partir d’un mécanisme réactionnel fourni, identifier un intermédiaire réactionnel, un catalyseur et établir l’équation de la réaction qu’il modélise au niveau microscopique.
Représenter les flèches courbes d’un acte élémentaire, en justifiant leur sens.
Interpréter l’influence des concentrations et de la température sur la vitesse d’un acte élémentaire, en termes de fréquence et d’efficacité des chocs entre entités.
B) Modéliser l’évolution temporelle d’un système, siège d’une transformation nucléaire
Décroissance radioactive
Stabilité et instabilité des noyaux : diagramme (N,Z), radioactivité α et β, équation d’une réaction nucléaire, lois de conservation. Déterminer, à partir d’un diagramme (N,Z), les isotopes radioactifs d’un élément.
Utiliser des données et les lois de conservation pour écrire l’équation d’une réaction nucléaire et identifier le type de radioactivité.
Radioactivité γ.
Évolution temporelle d’une population de noyaux radioactifs ; constante radioactive ; loi de décroissance radioactive ; temps de demi-vie ; activité. tablir l’expression de l’évolution temporelle de la population de noyaux radioactifs.
Exploiter la loi et une courbe de décroissance radioactive.
Capacité mathématique : Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
Radioactivité naturelle ; applications à la datation.
Applications dans le domaine médical ; protection contre les rayonnements ionisants.		 Expliquer le principe de la datation à l’aide de noyaux radioactifs et dater un événement.
Citer quelques applications de la radioactivité dans le domaine médical.
Citer des méthodes de protection contre les rayonnements ionisants et des facteurs d’influence de ces protections

Siège d’une transformation chimique⚓︎

1. Facteurs cinétiques et catalyse⚓︎

Lorsqu'une transformation chimique a lieu, sa durée peut varier d'une fraction de seconde à plusieurs années. On distingue les transformations rapides (que l'œil ne peut pas suivre) des transformations lentes.

Facteur cinétique

Un facteur cinétique est un paramètre physique ou chimique qui influence la durée d'une transformation chimique, c'est-à-dire sa vitesse.

Les deux principaux facteurs cinétiques à connaître sont :

  • La température : plus la température du milieu réactionnel est élevée, plus la transformation est rapide.
  • La concentration des réactifs : plus la concentration initiale des réactifs est élevée, plus la transformation est rapide.

Catalyseur

Un catalyseur est une espèce chimique qui accélère une réaction chimique sans être consommée par celle-ci (elle n'apparaît pas dans l'équation de la réaction).

On distingue trois types de catalyse :

  • Homogène : le catalyseur et les réactifs sont dans le même état physique (ex: tous en solution aqueuse).
  • Hétérogène : le catalyseur et les réactifs sont dans des états physiques différents (ex: catalyseur solide et réactifs gazeux).
  • Enzymatique : le catalyseur est une macromolécule biologique (une enzyme).

Facteurs cinétiques et catalyse

On étudie la réaction lente entre les ions iodure \( I^- \) et l'eau oxygénée \( H_2O_2 \).

  1. Comment accélérer cette réaction sans ajouter de nouvelles espèces chimiques ?
  2. Si l'on ajoute quelques gouttes d'ions fer (III) \( Fe^{3+}_{(aq)} \) et que la réaction s'accélère sans que le fer ne soit consommé, de quel type de catalyse s'agit-il ?
Corrigé
  1. On peut augmenter la température du milieu réactionnel ou augmenter la concentration initiale des réactifs (\( I^- \) ou \( H_2O_2 \)).
  2. Il s'agit d'une catalyse homogène car les ions fer (III) et les réactifs sont dans la même phase (solution aqueuse).

2. Suivi temporel, vitesse volumique et temps de demi-réaction⚓︎

Pour suivre l'évolution d'une transformation, on mesure une grandeur physique (absorbance, conductivité, pression) ou chimique (titrages successifs) au cours du temps pour en déduire l'évolution de la concentration des espèces.

Vitesse volumique de disparition et d'apparition

Pour une espèce chimique en solution, on définit :

  • La vitesse volumique de disparition d'un réactif \( R \) :
\[ v_d(R) = - \frac{\text{d}[R]}{\text{d}t} \]
  • La vitesse volumique d'apparition d'un produit \( P \) :
\[ v_a(P) = \frac{\text{d}[P]}{\text{d}t} \]

Ces vitesses s'expriment généralement en \( \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{s}^{-1} \) ou en \( \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}\cdot\text{min}^{-1} \).

Graphiquement, la vitesse volumique correspond, au signe près, au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant la concentration en fonction du temps à un instant donné.

Temps de demi-réaction

Le temps de demi-réaction, noté \( t_{1/2} \), est la durée au bout de laquelle l'avancement \( x \) atteint la moitié de sa valeur finale \( x_f \).

\[ x(t_{1/2}) = \frac{x_f}{2} \]

Détermination graphique

La concentration d'un réactif \( A \) passe de \( 0,10 \text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} \) à \( 0,00 \text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} \) (réaction totale). Comment déterminer graphiquement \( t_{1/2} \) ?

Corrigé

La réaction étant totale, la concentration finale est nulle. La concentration à \( t_{1/2} \) sera la moitié de la concentration initiale, soit \( [A](t_{1/2}) = 0,05 \text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} \). On repère cette valeur sur l'axe des ordonnées, on lit l'abscisse correspondante sur la courbe : c'est \( t_{1/2} \).

3. Loi de vitesse d'ordre 1⚓︎

Certaines réactions suivent des lois de vitesse particulières qui relient la vitesse à la concentration des réactifs.

Cinétique d'ordre 1

Une réaction admet une loi de vitesse d'ordre 1 par rapport à un réactif \( A \) si la vitesse volumique de disparition de \( A \) est proportionnelle à la concentration en \( A \) :

\[ v_d(A) = k \cdot [A] \]

où \( k \) est la constante de vitesse (en \( \text{s}^{-1} \) ou \( \text{min}^{-1} \)).

L'équation différentielle qui régit l'évolution de la concentration d'un réactif \( A \) suivant une loi d'ordre 1 s'écrit alors :

\[ -\frac{\text{d}[A]}{\text{d}t} = k \cdot [A] \iff \frac{\text{d}[A]}{\text{d}t} + k \cdot [A] = 0 \]

La solution de cette équation différentielle est une fonction exponentielle décroissante :

\[ [A](t) = [A]_0 \cdot e^{-k \cdot t} \]

Pour une réaction d'ordre 1, le temps de demi-réaction \( t_{1/2} \) est indépendant de la concentration initiale du réactif.
On peut montrer que :

\[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \]

Loi de vitesse d'ordre 1

Une réaction impliquant un réactif \( A \) suit une loi de vitesse d'ordre 1. Sa constante de vitesse est \( k = 0,020 \text{ s}^{-1} \).

  1. Écrire l'équation différentielle vérifiée par \( [A] \).
  2. Calculer le temps de demi-réaction.
Corrigé
  1. Par définition, \( v_d(A) = -\frac{\text{d}[A]}{\text{d}t} \) et \( v_d(A) = k \cdot [A] \).
    L'équation différentielle est donc : \( \frac{\text{d}[A]}{\text{d}t} + 0,020 \cdot [A] = 0 \)
  2. Le temps de demi-réaction se calcule par :
    \( t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} = \frac{\ln(2)}{0,020} \approx 35 \text{ s} \)

4. Modélisation microscopique d'une transformation chimique⚓︎

a) Mécanisme réactionnel et actes élémentaires⚓︎

L'équation d'une réaction chimique décrit le bilan macroscopique d'une transformation, mais elle ne donne aucune indication sur la façon dont les molécules interagissent réellement à l'échelle microscopique.

La plupart des transformations chimiques se déroulent en réalité en plusieurs étapes successives. L'ensemble de ces étapes constitue le mécanisme réactionnel.

Acte élémentaire

Un acte élémentaire est une étape d'un mécanisme réactionnel qui se produit en une seule fois, à l'échelle microscopique, par suite de la collision entre les entités réagissantes (molécules, ions, radicaux).

Intermédiaire réactionnel

Un intermédiaire réactionnel est une espèce chimique formée au cours d'un acte élémentaire et entièrement consommée lors d'un acte élémentaire suivant. Il n'apparaît donc pas dans l'équation-bilan globale de la réaction.

Le bilan d'un mécanisme réactionnel s'obtient en faisant la somme des équations des actes élémentaires qui le constituent.

Bilan et intermédiaire réactionnel

On considère la réaction globale : \( 2 \text{NO}_{(g)} + \text{O}_{2(g)} \rightarrow 2 \text{NO}_{2(g)} \) Cette réaction s'effectue selon le mécanisme en deux actes élémentaires suivant :

  • Étape 1 : \( 2 \text{NO} \rightarrow \text{N}_2\text{O}_2 \)

  • Étape 2 : \( \text{N}_2\text{O}_2 + \text{O}_2 \rightarrow 2 \text{NO}_2 \)

  • Vérifier que la somme des étapes redonne bien l'équation globale.

  • Identifier l'intermédiaire réactionnel.
Corrigé
  1. En sommant les réactifs et les produits des deux étapes :

    \( 2 \text{NO} + \text{N}_2\text{O}_2 + \text{O}_2 \rightarrow \text{N}_2\text{O}_2 + 2 \text{NO}_2 \)

    En simplifiant par \( \text{N}_2\text{O}_2 \) présent des deux côtés, on retrouve bien :
    \( 2 \text{NO} + \text{O}_2 \rightarrow 2 \text{NO}_2 \)
  2. L'espèce \( \text{N}_2\text{O}_2 \) est formée lors de l'étape 1 puis consommée lors de l'étape 2. Elle n'apparaît pas dans le bilan : c'est un intermédiaire réactionnel.

b) Le formalisme de la flèche courbe⚓︎

Pour modéliser la formation ou la rupture de liaisons covalentes au cours d'un acte élémentaire, on s'intéresse au mouvement des électrons de valence.

Site donneur et site accepteur de doublet d'électrons

  • Un site donneur de doublet d'électrons est une zone riche en électrons : atome portant une charge partielle négative, atome possédant un doublet non liant, ou une liaison multiple.
  • Un site accepteur de doublet d'électrons est une zone pauvre en électrons : atome portant une charge partielle positive, ou un atome avec une lacune électronique.

Formalisme de la flèche courbe

Le mouvement d'un doublet d'électrons au cours d'un acte élémentaire est représenté par une flèche courbe. La flèche courbe part toujours d'un site donneur de doublet d'électrons pour pointer vers un site accepteur de doublet d'électrons.

  • La formation d'une liaison s'explique par le déplacement d'un doublet non liant vers un atome accepteur.
  • La rupture d'une liaison s'explique par le basculement du doublet de la liaison vers l'un des deux atomes (le plus électronégatif).
Comment compléter un mécanisme réactionnel

Sur tous les réactifs et produits, faire apparaître les doublets non liants.

Identifier, chez les réactifs,les liaisons rompues et du côté des produits les liaisons formées.

  • Pour chaque liaison rompue,

    • identifier le site donneur et le site accepteur.
      L’atome le plus électronégatif est le site accepteur.
    • Du côté des réactifs, représenter le déplacement du doublet du site donneur vers le site accepteur par une flèche courbe.

  • Pour chaque liaison formée, identifier le site donneur et le site accepteur :

Le site donneur est riche en électrons. Il s’agit soit :

  • un atome très électronégatif porteur d’une charge partielle négative marquée \(\delta^-\)
  • un atome porteur d’une charge négative notée \(X^–\)
  • un atome porteur d’un doublet non liant (toujours dessiner ces doublets)
  • une liaison multiple

Le site accepteur est pauvreen électrons. Il s’agit soit

  • un atome voisin d’atomes électronégatifs (porteur d’une charge partielle positive marquée \(\delta^+\) du fait de la délocalisation de son nuage électronique à cause de l'atome très électronégatif voisin)
  • un atome porteur d’une charge positive notée \(X^+\)

Du coté des réactifs, représenter le mouvement du doublet (en priorité un doublet non liant, sinon un doublet liant) par une flèche courbe du site donneur vers le site accepteur.

Quelques exemples

  1. Autoprotolyse de l'eau :

  2. Synthèse de l'éthanoate de méthyle en milieu acide

    • Equation bilan "classique"
    • Protonation de l'acide éthanoïque

    • Addition nucléophile de l'alcool
    • Transfert de proton
    • Élimination d'une molécule d'eau
    • Régénération du catalyseur

Tracer et interpréter des flèches courbes

Lors de l'hydratation d'un alcène, l'un des actes élémentaires fait intervenir l'ion \( \text{H}^+ \) et l'éthène \( \text{C}_2\text{H}_4 \). L'ion hydrogène possède une lacune électronique (site accepteur). La double liaison \( \text{C=C} \) est riche en électrons (site donneur).

Expliquer le mouvement des électrons pour former le carbocation \( \text{CH}_3\text{-CH}_2^+ \).

Corrigé
  1. Le site donneur est la double liaison \( \text{C=C} \).
  2. Le site accepteur est l'ion \( \text{H}^+ \).
  3. La flèche courbe doit partir du milieu de la double liaison \( \text{C=C} \) et pointer vers l'ion \( \text{H}^+ \).

L'un des atomes de carbone forme ainsi une liaison \( \text{C-H} \) avec cet hydrogène. L'autre carbone, ayant perdu un électron en propre du doublet liant, devient porteur d'une charge positive (carbocation).

c) Modification du mécanisme par ajout d'un catalyseur⚓︎

La cinétique d'une réaction peut être modifiée par l'ajout d'un catalyseur.

Action d'un catalyseur sur le mécanisme

Un catalyseur agit en modifiant le mécanisme réactionnel. Il remplace la réaction globale lente par plusieurs actes élémentaires rapides. Bien qu'il participe à un acte élémentaire (il est consommé au début), il est régénéré dans une étape ultérieure. Il n'apparaît donc pas dans l'équation de la réaction globale.

Identification d'un catalyseur dans un mécanisme

La décomposition de l'eau oxygénée \( 2 \text{H}_2\text{O}_2 \rightarrow 2 \text{H}_2\text{O} + \text{O}_2 \) est lente.
En présence d'ions iodure \( \text{I}^- \), le mécanisme suivant est proposé :

  • Étape 1 : \( \text{H}_2\text{O}_2 + \text{I}^- \rightarrow \text{H}_2\text{O} + \text{IO}^- \)
  • Étape 2 : \( \text{H}_2\text{O}_2 + \text{IO}^- \rightarrow \text{H}_2\text{O} + \text{O}_2 + \text{I}^- \)

L'ion iodure est-il un catalyseur ou un intermédiaire réactionnel ? Justifier.

Corrigé

L'ion \( \text{I}^- \) est un réactif de l'étape 1 (il est consommé). Il est ensuite reformé (produit) lors de l'étape 2. Il modifie le mécanisme réactionnel et est régénéré à la fin : c'est un catalyseur.
À l'inverse, l'ion \( \text{IO}^- \) est formé puis consommé, c'est un intermédiaire réactionnel.

d) Interprétation microscopique des facteurs cinétiques⚓︎

Pour qu'un acte élémentaire ait lieu, les entités réagissantes doivent se rencontrer et interagir de manière efficace. C'est la théorie des collisions.

Collision efficace

Une collision entre deux réactifs est dite efficace si elle aboutit à la formation des produits. Elle nécessite deux conditions :

  • L'énergie cinétique des entités lors du choc doit être suffisante (pour rompre certaines liaisons).
  • L'orientation relative des molécules lors du choc doit être favorable.

Les facteurs cinétiques (température et concentration) modifient la probabilité de ces collisions efficaces.

  • Influence de la concentration : L'augmentation de la concentration des réactifs signifie qu'il y a plus d'entités par unité de volume. La fréquence des chocs augmente, donc la fréquence des collisions efficaces augmente. La réaction est plus rapide.

  • Influence de la température : La température est une mesure de l'agitation thermique. Si la température augmente, l'énergie cinétique moyenne des entités augmente, de même que leur vitesse. Il y a donc plus de chocs, et surtout une proportion beaucoup plus importante de chocs suffisamment énergétiques pour être efficaces. La réaction est plus rapide.

Interprétation microscopique

Une réaction en solution aqueuse se déroule à \( 20^\circ\text{C} \) ou à \( 50^\circ\text{C} \). Expliquer à l'échelle microscopique pourquoi la transformation sera plus courte à \( 50^\circ\text{C} \).

Corrigé

À \( 50^\circ\text{C} \), l'agitation thermique est supérieure à celle à \( 20^\circ\text{C} \). La vitesse moyenne des molécules est plus grande, ce qui augmente le nombre de chocs par seconde. De plus, une plus grande fraction de ces chocs possède une énergie suffisante pour être des collisions efficaces. La fréquence des actes élémentaires augmente, réduisant ainsi la durée de la réaction.

Exercices d'application⚓︎

Exercice 1 : Évolution de la vitesse

On étudie la réaction de décomposition de l'eau oxygénée. Comment évolue la vitesse volumique de disparition au cours du temps ? Justifier.

Corrigé

Au cours du temps, la concentration en réactifs diminue. Or, la concentration est un facteur cinétique. La vitesse de la réaction va donc diminuer au cours du temps. Graphiquement, la pente de la tangente à la courbe \( [H_2O_2] = f(t) \) est de moins en moins forte (en valeur absolue).

Exercice 2 : Cinétique d'ordre 1 et graphiques

On réalise le suivi temporel de la concentration d'un réactif \( R \). On trace la courbe \( \ln([R]) = f(t) \) et on obtient une droite.

  1. Que peut-on déduire sur l'ordre de la réaction ?
  2. Comment déterminer la constante de vitesse \( k \) à partir du graphique ?
Corrigé
  1. Si la réaction suit une loi d'ordre 1, alors \( [R](t) = [R]_0 \cdot e^{-k t} \).
    En passant au logarithme népérien, on obtient : \( \ln([R]) = \ln([R]_0) - k \cdot t \).
    L'obtention d'une droite affine confirme que la loi est d'ordre 1.
  2. L'équation de la droite est de la forme \( y = a \cdot t + b \).
    Le coefficient directeur de cette droite correspond à \( -k \).
    La constante de vitesse \( k \) est donc l'opposé du coefficient directeur de la droite.

Exercice 3 : Étude de la substitution nucléophile du bromométhane

La réaction du bromométhane avec les ions hydroxyde a pour équation :

\[ \text{CH}_3\text{Br}_{(aq)} + \text{HO}^-_{(aq)} \rightarrow \text{CH}_3\text{OH}_{(aq)} + \text{Br}^-_{(aq)} \]

Cette réaction se fait en un seul acte élémentaire.

  1. Identifier les sites donneur et accepteur d'électrons dans les réactifs (on rappelle que Br est plus électronégatif que C).
  2. Proposer le mécanisme par le formalisme des flèches courbes.
Corrigé
  1. L'ion hydroxyde \( \text{HO}^- \) possède des doublets non liants sur l'oxygène et porte une charge négative : c'est un site donneur. Dans \( \text{CH}_3\text{Br} \), le brome étant plus électronégatif que le carbone, la liaison C-Br est polarisée. Le carbone porte une charge partielle positive \( \delta^+ \) : c'est le site accepteur.
  2. Deux flèches courbes simultanées (car un seul acte élémentaire) :
  3. Une flèche partant d'un doublet non liant de l'ion \( \text{HO}^- \) vers l'atome de carbone de \( \text{CH}_3\text{Br} \).
  4. Une flèche partant du doublet liant de la liaison \( \text{C-Br} \) vers l'atome de brome \( \text{Br} \).

Exercice 4 : Bilan et mécanisme

On étudie la réaction globale : \( 2 \text{A} + \text{B} \rightarrow \text{C} + \text{D} \)

Le mécanisme proposé est :

  • Étape 1 : \( \text{A} + \text{B} \rightarrow \text{I} + \text{D} \)
  • Étape 2 : \( \text{I} + \text{A} \rightarrow \text{C} \)

  1. Nommer l'espèce I. Justifier.
  2. On ajoute l'espèce X au milieu. Le nouveau mécanisme devient :
    • Étape 1 : \( \text{A} + \text{X} \rightarrow \text{A}' \)
    • Étape 2 : \( \text{A}' + \text{B} \rightarrow \text{I} + \text{D} + \text{X} \)
    • Étape 3 : \( \text{I} + \text{A} \rightarrow \text{C} \)

Quel est le rôle de X ?

Corrigé
  1. L'espèce I est formée lors de l'étape 1 et totalement consommée dans l'étape 2. Elle n'est pas dans l'équation bilan : c'est un intermédiaire réactionnel.
  2. L'espèce X est consommée (étape 1) puis régénérée (étape 2). Elle ne figure pas dans le bilan mais modifie le mécanisme réactionnel (3 étapes au lieu de 2). X est un catalyseur.
Erreurs fréquentes
  • Confondre la vitesse d'une réaction et sa durée : si la vitesse augmente (ex: par ajout d'un catalyseur), la durée de la réaction diminue !
  • Oublier le signe moins (\( - \)) dans l'expression de la vitesse volumique de disparition d'un réactif.
  • Confondre \( t_{1/2} \) (temps de demi-réaction) et \( \frac{t_{final}}{2} \) (la moitié de la durée totale de la réaction). Ce n'est absolument pas la même chose.
  • Confondre intermédiaire réactionnel et catalyseur : l'intermédiaire est formé puis consommé, le catalyseur est consommé puis formé (régénéré).
  • Placer l'origine d'une flèche courbe sur un atome ou une charge positive : une flèche courbe part toujours d'un doublet (liant ou non liant) pour aller vers un atome.
  • Oublier que la température et la concentration n'influencent pas seulement la quantité de collisions, mais la fréquence des collisions efficaces.
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Siège d’une transformation nucléaire⚓︎

1. Radioactivité et activité d'une source⚓︎

La radioactivité est un phénomène naturel, spontané, aléatoire et inéluctable au cours duquel un noyau instable (père) se désintègre pour donner un nouveau noyau (fils) en émettant une particule et souvent un rayonnement électromagnétique (gamma).

Puisque le phénomène est aléatoire à l'échelle d'un seul noyau, on étudie l'évolution globale d'une population constituée d'un grand nombre de noyaux, notée \( N(t) \).

Activité d'une source radioactive

L'activité, notée \( A(t) \), d'un échantillon radioactif correspond au nombre de désintégrations par seconde.

Elle s'exprime en Becquerel (Bq) (1 Bq = 1 désintégration par seconde).

\[ A(t) = - \frac{\text{d}N(t)}{\text{d}t} \]

L'activité est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant \( t \).

Constante radioactive

La constante radioactive, notée \( \lambda \), est une grandeur caractéristique d'un noyau radioactif donné. Elle représente la probabilité de désintégration par unité de temps et s'exprime en \( \text{s}^{-1} \).

\[ A(t) = \lambda \cdot N(t) \]

Activité et nombre de noyaux

Un échantillon contient \( N = 5,0 \times 10^{20} \) noyaux de Carbone 14.
La constante radioactive du Carbone 14 est \( \lambda \approx 3,83 \times 10^{-12} \text{ s}^{-1} \).

Calculer l'activité de cet échantillon.

Corrigé

L'activité est donnée par la relation :
\( A = \lambda \cdot N \)
\( A = 3,83 \times 10^{-12} \times 5,0 \times 10^{20} \)
\( A \approx 1,9 \times 10^{9} \text{ Bq} \)

2. Loi de décroissance radioactive⚓︎

En combinant les deux expressions de l'activité vues précédemment, on peut établir une équation différentielle régissant l'évolution de la population de noyaux.

On a : \( - \frac{\text{d}N}{\text{d}t} = \lambda \cdot N(t) \)

Ce qui se réécrit sous la forme d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants :

\[ \frac{\text{d}N}{\text{d}t} + \lambda \cdot N(t) = 0 \]

Loi de décroissance radioactive

La résolution de l'équation différentielle précédente donne la loi de décroissance radioactive :

\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} \]

Où :

  • \( N(t) \) est le nombre de noyaux à l'instant \( t \)
  • \( N_0 \) est le nombre de noyaux à l'instant initial \( t = 0 \)
  • \( \lambda \) est la constante radioactive (en \( \text{s}^{-1} \))
  • \( t \) est le temps (en \( \text{s} \))

Puisque l'activité est proportionnelle au nombre de noyaux, elle suit la même loi d'évolution :

\[ A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} \]

Résolution d'équation différentielle

Montrer que \( N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} \) est bien solution de l'équation différentielle \( \frac{\text{d}N}{\text{d}t} + \lambda \cdot N(t) = 0 \).

Corrigé

On dérive la fonction proposée :
\( \frac{\text{d}N}{\text{d}t} = - \lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} = - \lambda \cdot N(t) \)
En remplaçant dans l'équation différentielle :
\( (-\lambda \cdot N(t)) + \lambda \cdot N(t) = 0 \). L'égalité est vérifiée, la fonction est bien solution.

3. Temps de demi-vie radioactive⚓︎

Temps de demi-vie

Le temps de demi-vie radioactive, noté \( t_{1/2} \), est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se sont désintégrés.

\[ N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2} \]

Il existe une relation mathématique directe entre la constante radioactive \( \lambda \) et le temps de demi-vie \( t_{1/2} \) :

\[ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \]

Conséquence graphique et pratique : Au bout de \( n \) temps de demi-vie (\( t = n \cdot t_{1/2} \)), la population initiale est divisée par \( 2^n \).

\[ N(n \cdot t_{1/2}) = \frac{N_0}{2^n} \]

Calcul du temps de demi-vie

La constante radioactive de l'Iode 131 est \( \lambda = 9,98 \times 10^{-7} \text{ s}^{-1} \). Calculer son temps de demi-vie en jours.

Corrigé

\( t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} = \frac{\ln(2)}{9,98 \times 10^{-7}} \approx 6,95 \times 10^5 \text{ s} \) Pour convertir en jours, on divise par \( 24 \times 3600 \) : \( t_{1/2} \approx \frac{6,95 \times 10^5}{86400} \approx 8,0 \text{ jours} \).

4. Applications de la radioactivité⚓︎

a) La datation⚓︎

La loi de décroissance radioactive permet de dater des événements. Par exemple, la datation au Carbone 14 se base sur le fait que le rapport \( \frac{^{14}\text{C}}{^{12}\text{C}} \) reste constant chez les êtres vivants.
À leur mort, les échanges avec l'atmosphère cessent et le Carbone 14 décroît selon son temps de demi-vie (environ 5730 ans). La mesure de l'activité résiduelle permet de retrouver la date de la mort.

b) Domaine médical et radioprotection⚓︎

  • Médecine : Les éléments radioactifs sont utilisés à des fins de diagnostic (traceurs comme l'Iode 131 ou le Fluor 18 en imagerie) ou de thérapie (radiothérapie pour détruire des cellules cancéreuses).
  • Radioprotection : L'exposition aux rayonnements ionisants présente des risques. Pour s'en protéger, trois facteurs principaux sont utilisés : limiter la durée d'exposition, s'éloigner de la source, et interposer des écrans absorbants (comme du plomb ou du béton).

Principe de la datation

L'activité d'un morceau de bois ancien en Carbone 14 est de \( 6,8 \text{ Bq} \). Un morceau de bois récent de même masse présente une activité de \( 13,6 \text{ Bq} \). Sachant que le temps de demi-vie du Carbone 14 est \( t_{1/2} = 5730 \text{ ans} \), déterminer l'âge du bois ancien.

Corrigé

On remarque que l'activité du bois ancien (\( 6,8 \text{ Bq} \)) est exactement la moitié de l'activité initiale (\( 13,6 \text{ Bq} \)). Cela signifie qu'il s'est écoulé exactement un temps de demi-vie. L'âge du bois ancien est donc de 5730 ans.

Exercices d'application⚓︎

Exercice 1 : Évolution temporelle d'une source de Césium

Le Césium 137 a un temps de demi-vie \( t_{1/2} = 30 \text{ ans} \). Une source présente une activité initiale \( A_0 \). 1. Que vaudra l'activité de cette source dans 90 ans, exprimée en fonction de \( A_0 \) ? 2. En déduire le pourcentage d'activité restante.

Corrigé
  1. La durée de 90 ans correspond à \( 3 \times t_{1/2} \).
    Après 3 demi-vies, l'activité est divisée par \( 2^3 = 8 \).
    Donc \( A(90 \text{ ans}) = \frac{A_0}{8} \).
  2. \( \frac{1}{8} = 0,125 \), soit 12,5 %.
    Il reste 12,5 % de l'activité initiale.

Exercice 2 : Calcul de l'âge d'un échantillon

En utilisant la loi \( A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} \), isoler le temps \( t \) pour obtenir la formule permettant de dater un échantillon connaissant \( A(t) \), \( A_0 \) et \( t_{1/2} \).

Corrigé

On part de : \( A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} \) \( \frac{A(t)}{A_0} = e^{-\lambda \cdot t} \)

On applique le logarithme népérien :
\( \ln\left(\frac{A(t)}{A_0}\right) = -\lambda \cdot t \)
\( t = -\frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A(t)}{A_0}\right) \)

Or \( \lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} \), ce qui donne :
\( t = - \frac{t_{1/2}}{\ln(2)} \cdot \ln\left(\frac{A(t)}{A_0}\right) \)

Erreurs fréquentes
  • Oubli des unités lors des calculs avec \(\lambda\) et \(t\) :
    dans l'exposant de l'exponentielle \(-\lambda \cdot t\), le produit doit être sans dimension.
    Si \(t\) est en jours, \(\lambda\) doit être en \(\text{jours}^{-1}\).
    En revanche, pour calculer l'activité en Becquerel (\(\text{s}^{-1}\)), \(\lambda\) doit obligatoirement être en \(\text{s}^{-1}\).
  • Confusion entre \(N(t)\) et \(A(t)\) : le nombre de noyaux est une quantité sans unité, tandis que l'activité est un taux de désintégration en Becquerel.
  • Croire que la radioactivité disparaît totalement : mathématiquement, l'exponentielle ne s'annule jamais, elle tend vers 0 asymptotiquement. En pratique, on considère la source éteinte après un grand nombre de demi-vies.