Mouvement et interactions : Décrire un mouvement

1. Vecteurs position, vitesse et accélération

Pour étudier le mouvement d'un système, on l'assimile souvent à un point matériel, noté \( M \), dont on étudie le déplacement au cours du temps dans un référentiel donné, muni d'un repère d'espace (par exemple cartésien \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \)) et d'une horloge.

Vecteur position

Le vecteur position, noté \( \vec{OM}(t) \), repère la position du point \( M \) à l'instant \( t \). Ses coordonnées s'expriment en mètres (m).

Dans un repère cartésien :
\( \vec{OM}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t) \vec{k} \)
Les fonctions \( x(t) \), \( y(t) \) et \( z(t) \) sont les équations horaires du mouvement.

Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse instantanée \( \vec{v}(t) \) est la dérivée par rapport au temps du vecteur position. Il caractérise la variation de la position à chaque instant.

\( \vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j} + \frac{dz}{dt} \vec{k} \)

Ses coordonnées se notent \( v_x(t) \), \( v_y(t) \) et \( v_z(t) \). La norme de la vitesse s'exprime en \( m \cdot s^{-1} \).

Vecteur accélération

Le vecteur accélération instantanée \( \vec{a}(t) \) est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse (ou la dérivée seconde du vecteur position). Il caractérise la variation de la vitesse.

\( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} = \frac{dv_x}{dt} \vec{i} + \frac{dv_y}{dt} \vec{j} + \frac{dv_z}{dt} \vec{k} \)

Ses coordonnées se notent \( a_x(t) \), \( a_y(t) \) et \( a_z(t) \). Son unité est le \( m \cdot s^{-2} \).

Coordonnées des vecteurs cinématiques

Les équations horaires du mouvement d'un point \( M \) dans un plan sont :
\( x(t) = 2,0 \cdot t \)
\( y(t) = -4,9 \cdot t^2 + 5,0 \cdot t + 10 \)

Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse \( \vec{v}(t) \) et du vecteur accélération \( \vec{a}(t) \).

Corrigé

On dérive les équations de position par rapport au temps :
\( v_x(t) = \frac{dx}{dt} = 2,0 \)
\( v_y(t) = \frac{dy}{dt} = -9,8 \cdot t + 5,0 \)

On dérive ensuite les équations de la vitesse pour obtenir l'accélération :
\( a_x(t) = \frac{dv_x}{dt} = 0 \)
\( a_y(t) = \frac{dv_y}{dt} = -9,8 \)

2. Étude de mouvements particuliers en repère cartésien

En intégrant les coordonnées du vecteur accélération, on peut retrouver les expressions des vecteurs vitesse et position, à condition de connaître les conditions initiales (position et vitesse à \( t = 0 \)).

Mouvement rectiligne uniformément accéléré

Un mouvement est dit rectiligne uniformément accéléré si sa trajectoire est une droite et si son vecteur accélération est constant : \( \vec{a} = \vec{Cste} \).

Méthode de détermination des équations horaires (sur un axe Ox) :

1. Accélération : \( a_x(t) = Cste \)
2. Vitesse (par intégration) : \( v_x(t) = a_x \cdot t + v_{0x} \) avec \( v_{0x} \) la vitesse initiale.
3. Position (par intégration) : \( x(t) = \frac{1}{2} a_x \cdot t^2 + v_{0x} \cdot t + x_0 \) avec \( x_0 \) la position initiale.

Intégration des vecteurs

Un point \( M \) possède une accélération constante de composantes :

• \( a_x = 0 \) et
• \( a_y = -g \) (avec \( g = 9,8 \ m \cdot s^{-2} \)).

À \( t=0 \), le point est à l'origine du repère (\( x_0=0, y_0=0 \)) avec une vitesse initiale \( \vec{v_0} \) de coordonnées \( v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha) \) et \( v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha) \).

Déterminer les équations horaires \( x(t) \) et \( y(t) \).

Corrigé

Vitesse : \( v_x(t) = \int a_x dt = C_1 \). À \( t=0 \), \( v_x(0) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \), donc \( v_x(t) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \).
\( v_y(t) = \int a_y dt = -g \cdot t + C_2 \). À \( t=0 \), \( v_y(0) = v_0 \cdot \sin(\alpha) \), donc \( v_y(t) = -g \cdot t + v_0 \cdot \sin(\alpha) \).

Position : \( x(t) = \int v_x dt = (v_0 \cdot \cos(\alpha)) \cdot t + C_3 \). À \( t=0 \), \( x=0 \), donc \( x(t) = (v_0 \cdot \cos(\alpha)) \cdot t \).
\( y(t) = \int v_y dt = -\frac{1}{2}g \cdot t^2 + (v_0 \cdot \sin(\alpha)) \cdot t + C_4 \).
À \( t=0 \), \( y=0 \), donc \( y(t) = -\frac{1}{2}g \cdot t^2 + (v_0 \cdot \sin(\alpha)) \cdot t \).

3. Le repère de Frenet et le mouvement circulaire

Pour l'étude des mouvements circulaires, le repère cartésien est souvent inadapté. On privilégie un repère mobile lié au point \( M \).

Repère de Frenet

Le repère de Frenet est constitué d'une origine (le point \( M \) en mouvement) et de deux vecteurs unitaires :

• Le vecteur unitaire tangentiel \( \vec{u}_T \) (ou \( \vec{\tau} \)), tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.
• Le vecteur unitaire normal \( \vec{u}_N \) (ou \( \vec{n} \)), perpendiculaire à \( \vec{u}_T \) et dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire.

Dans ce repère, les vecteurs cinématiques s'écrivent :

• \( \vec{v} = v \cdot \vec{u}_T \) (la vitesse est toujours tangente à la trajectoire).
• \( \vec{a} = a_T \cdot \vec{u}_T + a_N \cdot \vec{u}_N \)

Avec :

• L'accélération tangentielle : \( a_T = \frac{dv}{dt} \)
• L'accélération normale : \( a_N = \frac{v^2}{R} \) (où \( R \) est le rayon de courbure ou de la trajectoire circulaire).

\( \vec{a} = \frac{dv}{dt} \vec{u}_T + \frac{v^2}{R} \vec{u}_N \)

Mouvement circulaire régulier (uniforme)

Un satellite est en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre. Que peut-on dire de son accélération ?

Corrigé

Le mouvement étant uniforme, la norme de la vitesse \( v \) est constante.
Par conséquent, la dérivée de la vitesse est nulle : \( \frac{dv}{dt} = 0 \). L'accélération tangentielle est donc nulle.
Il reste uniquement l'accélération normale : \( \vec{a} = \frac{v^2}{R} \vec{u}_N \).
Le vecteur accélération est purement normal (ou centripète), c'est-à-dire dirigé vers le centre de la trajectoire.

Exercices d'application

Exercice 1 : Tracé de vecteur et modélisation

Dans un logiciel de pointage vidéo, on relève les coordonnées \( x \) et \( y \) d'un objet en mouvement. On souhaite calculer par un algorithme les coordonnées du vecteur accélération au point \( i \).
En considérant la formule d'approximation de la dérivée vue en cours, exprimer \( a_{x, i} \) en fonction des vitesses environnantes et de l'intervalle de temps \( \Delta t \).

Corrigé

L'accélération approchée au point \( i \) est évaluée par la variation de la vitesse entre les points \( i-1 \) et \( i+1 \).
\( a_{x, i} = \frac{v_{x, i+1} - v_{x, i-1}}{2 \Delta t} \)

Exercice 2 : Équation de la trajectoire

En reprenant les équations horaires de l'exercice sur l'intégration :
\( x(t) = (v_0 \cdot \cos(\alpha)) \cdot t \)
\( y(t) = -\frac{1}{2}g \cdot t^2 + (v_0 \cdot \sin(\alpha)) \cdot t \)

Déterminer l'équation de la trajectoire \( y(x) \).

Corrigé

L'équation de la trajectoire est une relation indépendante du temps \( t \).

1. On isole \( t \) dans l'équation de \( x(t) \) :
   \( t = \frac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} \)
2. On remplace \( t \) dans l'expression de \( y(t) \) :
   \( y(x) = -\frac{1}{2}g \left( \frac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} \right)^2 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot \left( \frac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} \right) \)
   \( y(x) = -\frac{g}{2 v_0^2 \cdot \cos^2(\alpha)} x^2 + \tan(\alpha) \cdot x \)
   Il s'agit de l'équation d'une parabole.

Erreurs fréquentes

• Oublier les constantes d'intégration : Lors du passage de l'accélération à la vitesse, ou de la vitesse à la position, ne jamais négliger les vitesses initiales \( v_{0x}, v_{0y} \) ou les positions initiales \( x_0, y_0 \).
• Confondre la dérivée d'un vecteur et la dérivée de sa norme : L'accélération totale d'un système correspond à la dérivée du vecteur vitesse. En mouvement circulaire uniforme, bien que la norme de la vitesse soit constante (\( \frac{dv}{dt} = 0 \)), la direction du vecteur change : l'accélération n'est donc pas nulle.
• Mauvaise lecture des unités : La position s'exprime en mètres (\( m \)), la vitesse en \( m \cdot s^{-1} \) et l'accélération en \( m \cdot s^{-2} \). Veillez à convertir les kilomètres ou les minutes avant tout calcul.