Mouvement et interactions : Décrire un mouvement

Le BO

Notions et contenus	Capacités exigibles Activités expérimentales support de la formation
Vecteurs position, vitesse et accélération d’un point	Définir le vecteur vitesse comme la dérivée du vecteur position par rapport au temps et le vecteur accélération comme la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps. Établir les coordonnées cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération à partir des coordonnées du vecteur position et/ou du vecteur vitesse.
Coordonnées des vecteurs vitesse et accélération dans le repère de Frenet pour un mouvement circulaire.	Citer et exploiter les expressions des coordonnées des vecteurs vitesse et accélération dans le repère de Frenet, dans le cas d’un mouvement circulaire.
Mouvement rectiligne uniformément accéléré. Mouvement circulaire uniforme.	Caractériser le vecteur accélération pour les mouvements suivants : rectiligne, rectiligne uniforme, rectiligne uniformément accéléré, circulaire, circulaire uniforme. Réaliser et/ou exploiter une vidéo ou une chronophotographie pour déterminer les coordonnées du vecteur position en fonction du temps et en déduire les coordonnées approchées ou les représentations des vecteurs vitesse et accélération. Capacité numérique : Représenter, à l’aide d’un langage de programmation, des vecteurs accélération d’un point lors d'un mouvement. Capacité mathématique : Dériver une fonction.

1. Vecteurs position, vitesse et accélération

Pour étudier le mouvement d'un système, on l'assimile souvent à un point matériel, noté \( M \), dont on étudie le déplacement au cours du temps dans un référentiel donné, muni d'un repère d'espace (par exemple cartésien \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \)) et d'une horloge.

Vecteur position

Le vecteur position, noté \( \vec{OM}(t) \), repère la position du point \( M \) à l'instant \( t \). Ses coordonnées s'expriment en mètres (m).

Dans un repère cartésien :
\( \vec{OM}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j} + z(t) \vec{k} \)
Les fonctions \( x(t) \), \( y(t) \) et \( z(t) \) sont les équations horaires du mouvement.

Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse instantanée \( \vec{v}(t) \) est la dérivée par rapport au temps du vecteur position. Il caractérise la variation de la position à chaque instant.

\( \vec{v}(t) = \frac{d\vec{OM}}{dt} = \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j} + \frac{dz}{dt} \vec{k} \)

Ses coordonnées se notent \( v_x(t) \), \( v_y(t) \) et \( v_z(t) \). La norme de la vitesse s'exprime en \( m \cdot s^{-1} \).

Vecteur accélération

Le vecteur accélération instantanée \( \vec{a}(t) \) est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse (ou la dérivée seconde du vecteur position). Il caractérise la variation de la vitesse.

\( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} = \frac{dv_x}{dt} \vec{i} + \frac{dv_y}{dt} \vec{j} + \frac{dv_z}{dt} \vec{k} \)

Ses coordonnées se notent \( a_x(t) \), \( a_y(t) \) et \( a_z(t) \). Son unité est le \( m \cdot s^{-2} \).

Coordonnées des vecteurs cinématiques

Les équations horaires du mouvement d'un point \( M \) dans un plan sont :
\( x(t) = 2,0 \cdot t \)
\( y(t) = -4,9 \cdot t^2 + 5,0 \cdot t + 10 \)

Exprimer les coordonnées du vecteur vitesse \( \vec{v}(t) \) et du vecteur accélération \( \vec{a}(t) \).

Corrigé

On dérive les équations de position par rapport au temps :
\( v_x(t) = \frac{dx}{dt} = 2,0 \)
\( v_y(t) = \frac{dy}{dt} = -9,8 \cdot t + 5,0 \)

On dérive ensuite les équations de la vitesse pour obtenir l'accélération :
\( a_x(t) = \frac{dv_x}{dt} = 0 \)
\( a_y(t) = \frac{dv_y}{dt} = -9,8 \)

2. Étude de mouvements particuliers en repère cartésien

En intégrant les coordonnées du vecteur accélération, on peut retrouver les expressions des vecteurs vitesse et position, à condition de connaître les conditions initiales (position et vitesse à \( t = 0 \)).

Mouvement rectiligne uniformément accéléré

Un mouvement est dit rectiligne uniformément accéléré si sa trajectoire est une droite et si son vecteur accélération est constant : \( \vec{a} = \vec{Cste} \).

Méthode de détermination des équations horaires (sur un axe Ox) :

1. Accélération : \( a_x(t) = Cste \)
2. Vitesse (par intégration) : \( v_x(t) = a_x \cdot t + v_{0x} \) avec \( v_{0x} \) la vitesse initiale.
3. Position (par intégration) : \( x(t) = \frac{1}{2} a_x \cdot t^2 + v_{0x} \cdot t + x_0 \) avec \( x_0 \) la position initiale.

Intégration des vecteurs

Un point \( M \) possède une accélération constante de composantes :

• \( a_x = 0 \) et
• \( a_y = -g \) (avec \( g = 9,8 \ m \cdot s^{-2} \)).

À \( t=0 \), le point est à l'origine du repère (\( x_0=0, y_0=0 \)) avec une vitesse initiale \( \vec{v_0} \) de coordonnées \( v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha) \) et \( v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha) \).

Déterminer les équations horaires \( x(t) \) et \( y(t) \).

Corrigé

Vitesse : \( v_x(t) = \int a_x dt = C_1 \). À \( t=0 \), \( v_x(0) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \), donc \( v_x(t) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \).
\( v_y(t) = \int a_y dt = -g \cdot t + C_2 \). À \( t=0 \), \( v_y(0) = v_0 \cdot \sin(\alpha) \), donc \( v_y(t) = -g \cdot t + v_0 \cdot \sin(\alpha) \).

Position : \( x(t) = \int v_x dt = (v_0 \cdot \cos(\alpha)) \cdot t + C_3 \). À \( t=0 \), \( x=0 \), donc \( x(t) = (v_0 \cdot \cos(\alpha)) \cdot t \).
\( y(t) = \int v_y dt = -\frac{1}{2}g \cdot t^2 + (v_0 \cdot \sin(\alpha)) \cdot t + C_4 \).
À \( t=0 \), \( y=0 \), donc \( y(t) = -\frac{1}{2}g \cdot t^2 + (v_0 \cdot \sin(\alpha)) \cdot t \).

3. Le repère de Frenet et le mouvement circulaire

Pour l'étude des mouvements circulaires, le repère cartésien est souvent inadapté. On privilégie un repère mobile lié au point \( M \).

Repère de Frenet

Le repère de Frenet est constitué d'une origine (le point \( M \) en mouvement) et de deux vecteurs unitaires :

• Le vecteur unitaire tangentiel \( \vec{u}_T \) (ou \( \vec{\tau} \)), tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.
• Le vecteur unitaire normal \( \vec{u}_N \) (ou \( \vec{n} \)), perpendiculaire à \( \vec{u}_T \) et dirigé vers le centre de courbure de la trajectoire.

Dans ce repère, les vecteurs cinématiques s'écrivent :

• \( \vec{v} = v \cdot \vec{u}_T \) (la vitesse est toujours tangente à la trajectoire).
• \( \vec{a} = a_T \cdot \vec{u}_T + a_N \cdot \vec{u}_N \)

Avec :

• L'accélération tangentielle : \( a_T = \frac{dv}{dt} \)
• L'accélération normale : \( a_N = \frac{v^2}{R} \) (où \( R \) est le rayon de courbure ou de la trajectoire circulaire).

\( \vec{a} = \frac{dv}{dt} \vec{u}_T + \frac{v^2}{R} \vec{u}_N \)

Mouvement circulaire régulier (uniforme)

Un satellite est en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre. Que peut-on dire de son accélération ?

Corrigé

Le mouvement étant uniforme, la norme de la vitesse \( v \) est constante.
Par conséquent, la dérivée de la vitesse est nulle : \( \frac{dv}{dt} = 0 \). L'accélération tangentielle est donc nulle.
Il reste uniquement l'accélération normale : \( \vec{a} = \frac{v^2}{R} \vec{u}_N \).
Le vecteur accélération est purement normal (ou centripète), c'est-à-dire dirigé vers le centre de la trajectoire.

Exercices d'application

Exercice 1 : Tracé de vecteur et modélisation

Dans un logiciel de pointage vidéo, on relève les coordonnées \( x \) et \( y \) d'un objet en mouvement. On souhaite calculer par un algorithme les coordonnées du vecteur accélération au point \( i \).
En considérant la formule d'approximation de la dérivée vue en cours, exprimer \( a_{x, i} \) en fonction des vitesses environnantes et de l'intervalle de temps \( \Delta t \).

Corrigé

L'accélération approchée au point \( i \) est évaluée par la variation de la vitesse entre les points \( i-1 \) et \( i+1 \).
\( a_{x, i} = \frac{v_{x, i+1} - v_{x, i-1}}{2 \Delta t} \)

Exercice 2 : Équation de la trajectoire

En reprenant les équations horaires de l'exercice sur l'intégration :
\( x(t) = (v_0 \cdot \cos(\alpha)) \cdot t \)
\( y(t) = -\frac{1}{2}g \cdot t^2 + (v_0 \cdot \sin(\alpha)) \cdot t \)

Déterminer l'équation de la trajectoire \( y(x) \).

Corrigé

L'équation de la trajectoire est une relation indépendante du temps \( t \).

1. On isole \( t \) dans l'équation de \( x(t) \) :
   \( t = \frac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} \)
2. On remplace \( t \) dans l'expression de \( y(t) \) :
   \( y(x) = -\frac{1}{2}g \left( \frac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} \right)^2 + v_0 \cdot \sin(\alpha) \cdot \left( \frac{x}{v_0 \cdot \cos(\alpha)} \right) \)
   \( y(x) = -\frac{g}{2 v_0^2 \cdot \cos^2(\alpha)} x^2 + \tan(\alpha) \cdot x \)
   Il s'agit de l'équation d'une parabole.

Erreurs fréquentes

• Oublier les constantes d'intégration : Lors du passage de l'accélération à la vitesse, ou de la vitesse à la position, ne jamais négliger les vitesses initiales \( v_{0x}, v_{0y} \) ou les positions initiales \( x_0, y_0 \).
• Confondre la dérivée d'un vecteur et la dérivée de sa norme : L'accélération totale d'un système correspond à la dérivée du vecteur vitesse. En mouvement circulaire uniforme, bien que la norme de la vitesse soit constante (\( \frac{dv}{dt} = 0 \)), la direction du vecteur change : l'accélération n'est donc pas nulle.
• Mauvaise lecture des unités : La position s'exprime en mètres (\( m \)), la vitesse en \( m \cdot s^{-1} \) et l'accélération en \( m \cdot s^{-2} \). Veillez à convertir les kilomètres ou les minutes avant tout calcul.