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Mouvement et interactions : Relier les actions appliquées à un système à son mouvement⚓︎

Le BO

Notions et contenus Capacités exigibles
Activités expérimentales support de la formation
Deuxième loi de Newton
Centre de masse d’un système. Justifier qualitativement la position du centre de masse d’un système, cette position étant donnée.
Référentiel galiléen.
Deuxième loi de Newton.
Équilibre d'un système.		 Discuter qualitativement du caractère galiléen d’un référentiel donné pour le mouvement étudié.
Utiliser la deuxième loi de Newton dans des situations variées pour en déduire :
  • le vecteur accélération du centre de masse, les forces appliquées au système étant connues ;
  • la somme des forces appliquées au système, le mouvement du centre de masse étant connu.
Mouvement dans un champ uniforme
Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme.
Champ électrique créé par un condensateur plan.
Mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme.		 Montrer que le mouvement dans un champ uniforme est plan.
Établir et exploiter les équations horaires du mouvement.
Établir l’équation de la trajectoire.
Discuter de l’influence des grandeurs physiques sur les caractéristiques du champ électrique créé par un condensateur plan, son expression étant donnée.
Principe de l’accélérateur linéaire de particules chargées. Décrire le principe d’un accélérateur linéaire de particules chargées.
Aspects énergétiques. Exploiter la conservation de l’énergie mécanique ou le théorème de l’énergie cinétique dans le cas du mouvement dans un champ uniforme.
Utiliser des capteurs ou une vidéo pour déterminer les équations horaires du mouvement du centre de masse d’un système dans un champ uniforme. Étudier l’évolution des énergies cinétique, potentielle et mécanique.
Capacité numérique : Représenter, à partir de données expérimentales variées, l’évolution des grandeurs énergétiques d’un système en mouvement dans un champ uniforme à l’aide d’un langage de programmation ou d’un tableur.
Capacités mathématiques : Résoudre une équation différentielle, déterminer la primitive d’une fonction, utiliser la représentation paramétrique d’une courbe
Mouvement dans un champ de gravitation
Mouvement des satellites et des planètes. Orbite.
Lois de Kepler.
Période de révolution.
Satellite géostationnaire.		 Déterminer les caractéristiques des vecteurs vitesse et accélération du centre de masse d’un système en mouvement circulaire dans un champ de gravitation newtonien.
Établir et exploiter la troisième loi de Kepler dans le cas du mouvement circulaire.
Capacité numérique : Exploiter, à l’aide d’un langage de programmation, des données astronomiques ou satellitaires pour tester les deuxième et troisième lois de Kepler.

1. La deuxième loi de Newton⚓︎

Pour étudier le mouvement d'un système, il est indispensable de faire le bilan des forces extérieures qui s'exercent sur lui. La deuxième loi de Newton permet de lier ces forces à l'accélération du système.

Référentiel galiléen

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie (première loi de Newton) est vérifié. En pratique, pour des expériences courtes à la surface de la Terre, le référentiel terrestre est considéré comme galiléen.

Deuxième loi de Newton (Principe fondamental de la dynamique)

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un système de masse \( m \) constante est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre de masse :

\( \sum \vec{F}_{\text{ext}} = m \cdot \vec{a} \)

Avec :

  • \( \sum \vec{F}_{\text{ext}} \) : somme des forces extérieures en newtons (N)
  • \( m \) : masse du système en kilogrammes (kg)
  • \( \vec{a} \) : vecteur accélération en \( m \cdot s^{-2} \)

Méthode de résolution en mécanique :

  1. Définir le système étudié et sa masse \( m \).
  2. Choisir un référentiel d'étude (supposé galiléen) et un repère d'espace.
  3. Faire le bilan des forces extérieures appliquées au système.
  4. Appliquer la deuxième loi de Newton.
  5. Projeter la relation vectorielle sur les axes du repère pour obtenir les coordonnées du vecteur accélération.

Application de la deuxième loi de Newton

Une voiture de masse \( m = 1200 \text{ kg} \) démarre sur une route horizontale. On modélise l'ensemble des forces motrices par une force constante \( \vec{F} \) horizontale de valeur \( F = 3600 \text{ N} \) et on néglige les forces de frottement.

Déterminer la valeur de l'accélération \( a \) de la voiture.

Corrigé
  1. Système : {voiture} de masse \( m = 1200 \text{ kg} \).
  2. Référentiel : terrestre supposé galiléen, muni d'un axe horizontal (Ox) dans le sens du mouvement.

  3. Bilan des forces :

    • Le poids \( \vec{P} \) (vertical vers le bas)
    • La réaction normale du support \( \vec{R}_N \) (verticale vers le haut)
    • La force motrice \( \vec{F} \) (horizontale vers l'avant)

  4. Deuxième loi de Newton :
    \( \vec{P} + \vec{R}_N + \vec{F} = m \cdot \vec{a} \)

  5. Projection sur l'axe (Ox) :
    Le poids et la réaction normale sont perpendiculaires au mouvement, leur projection sur (Ox) est nulle.
    \( 0 + 0 + F = m \cdot a_x \)
    D'où \( a_x = \frac{F}{m} = \frac{3600}{1200} = 3,0 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \). L'accélération vaut \( 3,0 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \).

2. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme⚓︎

Un champ de pesanteur est dit uniforme dans une région de l'espace si le vecteur champ de pesanteur \( \vec{g} \) y garde la même direction, le même sens et la même valeur en tout point.

Chute libre

Un système est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son propre poids \( \vec{P} \). On néglige alors les frottements de l'air et la poussée d'Archimède.

Appliquons la deuxième loi de Newton à un projectile en chute libre :

\( \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{P} = m \cdot \vec{g} \)
\( m \cdot \vec{a} = m \cdot \vec{g} \)

En simplifiant par la masse \( m \) (qui est non nulle), on obtient :
\( \vec{a} = \vec{g} \)

Propriété fondamentale : L'accélération d'un corps en chute libre dans un champ de pesanteur est indépendante de sa masse.

Vecteur accélération en chute libre

Un boulet de canon de masse \( m = 5,0 \text{ kg} \) est tiré avec une vitesse initiale \( v_0 \). Il est en chute libre dans le champ de pesanteur \( \vec{g} \) (vertical vers le bas, \( g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \)).

Donner les coordonnées du vecteur accélération dans un repère cartésien \( (O, x, y) \) où (Oy) est vertical orienté vers le haut.

Corrigé

Le boulet est en chute libre, donc d'après la deuxième loi de Newton : \( \vec{a} = \vec{g} \). Le vecteur \( \vec{g} \) est vertical et dirigé vers le bas. L'axe (Oy) étant orienté vers le haut, la projection de \( \vec{g} \) sur (Oy) est \( -g \). La projection sur l'axe horizontal (Ox) est nulle. On a donc : \( a_x = 0 \) \( a_y = -g = -9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \)

3. Mouvement dans un champ électrique uniforme⚓︎

Un champ électrique \( \vec{E} \) est uniforme si ses caractéristiques (direction, sens, norme) sont identiques en tout point de l'espace étudié. On l'obtient généralement entre les deux armatures planes et parallèles d'un condensateur.

Force électrique

Une particule de charge électrique \( q \) placée dans un champ électrique \( \vec{E} \) subit une force électrique \( \vec{F}_e \) telle que :
\( \vec{F}_e = q \cdot \vec{E} \)

  • Si \( q > 0 \), la force \( \vec{F}_e \) et le champ \( \vec{E} \) sont de même sens.
  • Si \( q < 0 \), la force \( \vec{F}_e \) et le champ \( \vec{E} \) sont de sens opposés.

Pour une particule élémentaire (électron, proton, ion) se déplaçant dans un champ électrique, le poids est souvent négligeable devant la force électrique (\( P \ll F_e \)).

Appliquons la deuxième loi de Newton en négligeant le poids :

\( \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{F}_e = q \cdot \vec{E} \)
\( m \cdot \vec{a} = q \cdot \vec{E} \)

D'où l'expression de l'accélération :
\( \vec{a} = \frac{q}{m} \vec{E} \)

Accélération d'un électron

Un électron de charge \( q = -e \) et de masse \( m_e \) pénètre dans un champ électrique uniforme \( \vec{E} \) vertical orienté vers le bas. On néglige son poids.

Déterminer la direction et le sens de son vecteur accélération \( \vec{a} \).

Corrigé

D'après la deuxième loi de Newton, l'accélération de l'électron est \( \vec{a} = \frac{-e}{m_e} \vec{E} \).
Puisque la charge de l'électron est négative (\( -e < 0 \)), le vecteur accélération \( \vec{a} \) est de sens opposé au vecteur champ électrique \( \vec{E} \).
Le champ \( \vec{E} \) étant vertical vers le bas, l'accélération \( \vec{a} \) sera verticale et orientée vers le haut.

Exercices d'application⚓︎

Exercice 1 : Établir les équations horaires lors d'un tir

Un joueur de tennis frappe une balle de masse \( m = 58 \text{ g} \). La balle quitte la raquette en un point \( O \) (pris comme origine du repère) à l'instant \( t=0 \) avec une vitesse initiale \( \vec{v}_0 \) faisant un angle \( \alpha \) avec l'horizontale.
On néglige les frottements de l'air.
Le repère \( (O, x, y) \) est tel que (Ox) est horizontal et (Oy) vertical ascendant.

  1. Établir les coordonnées du vecteur accélération.
  2. En déduire les équations horaires de la vitesse \( v_x(t) \) et \( v_y(t) \).
Corrigé

  1. Accélération : Le système {balle} est soumis uniquement à son poids \( \vec{P} \) (chute libre).
    Deuxième loi de Newton : \( m \cdot \vec{a} = m \cdot \vec{g} \implies \vec{a} = \vec{g} \).
    En projetant dans le repère \( (O, x, y) \) :
    \( a_x(t) = 0 \)
    \( a_y(t) = -g \)

  2. Vitesse : La vitesse est la primitive de l'accélération :
    \( v_x(t) = C_1 \)
    \( v_y(t) = -g \cdot t + C_2 \)
    À \( t=0 \), les coordonnées de \( \vec{v}_0 \) sont \( v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha) \) et \( v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha) \).
    On identifie les constantes :
    \( v_x(t) = v_0 \cdot \cos(\alpha) \)
    \( v_y(t) = -g \cdot t + v_0 \cdot \sin(\alpha) \)

Exercice 2 : Déflexion d'un faisceau d'ions

Des ions \( He^{2+} \) (masse \( m \), charge \( q = +2e \)) pénètrent avec une vitesse initiale \( \vec{v}_0 \) horizontale (selon l'axe Ox) entre deux plaques planes où règne un champ électrique uniforme \( \vec{E} \) vertical et dirigé vers le bas (selon l'axe Oy orienté vers le bas). On néglige le poids des ions.

Déterminer les équations horaires de position \( x(t) \) et \( y(t) \) si l'origine O est le point d'entrée des ions à \( t=0 \).

Corrigé

  1. Accélération :
    Système : {ion \( He^{2+} \)}.
    Deuxième loi de Newton (poids négligé) : \( m \cdot \vec{a} = q \cdot \vec{E} \implies \vec{a} = \frac{2e}{m} \vec{E} \).
    Projection (\( \vec{E} \) est selon Oy positif) :
    \( a_x = 0 \)
    \( a_y = \frac{2e \cdot E}{m} \)

  2. Vitesse :
    Par intégration avec \( \vec{v}_0 \) selon (Ox) :
    \( v_x(t) = v_0 \)
    \( v_y(t) = \frac{2e \cdot E}{m} \cdot t \)

  3. Position :
    Par intégration avec l'origine \( O(0,0) \) à \( t=0 \) :
    \( x(t) = v_0 \cdot t \)
    \( y(t) = \frac{1}{2} \frac{2e \cdot E}{m} \cdot t^2 = \frac{e \cdot E}{m} \cdot t^2 \)

Erreurs fréquentes
  • Oublier la masse dans le bilan dynamique : La force électrique vaut \( q\vec{E} \), mais l'accélération dépend de la masse : \( \vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E} \). Deux particules de même charge mais de masses différentes auront des trajectoires différentes.
  • Se tromper de signe lors des projections : Il faut toujours comparer l'orientation des vecteurs (\( \vec{g} \) ou \( \vec{E} \)) par rapport aux axes du repère choisi pour déterminer les signes des composantes.
  • Ignorer le signe de la charge électrique : Pour un électron (\( q = -e \)), la force électrique s'oppose au sens du champ électrique. Ne pas le prendre en compte fausse la direction de l'accélération.