Former des images, décrire la lumière par un flux de photons

1. Modélisation d'une lunette astronomique

Une lunette astronomique est un instrument d'optique conçu pour observer des objets très éloignés (considérés à l'infini) tels que des astres. Elle est modélisée par l'association de deux lentilles convergentes.

Objectif et Oculaire

• L'objectif est la lentille d'entrée de la lunette. Elle possède une grande distance focale \( f'_1 \) et un grand diamètre pour collecter un maximum de lumière. Elle forme une image intermédiaire \( A_1B_1 \) de l'objet observé.
• L'oculaire est la lentille proche de l'œil de l'observateur. Elle sert de loupe pour observer l'image intermédiaire et possède une petite distance focale \( f'_2 \).

Pour une observation sans fatigue pour l'œil (sans accommodation), l'image finale doit se former à l'infini.

Lunette afocale

Une lunette est dite afocale si un objet situé à l'infini donne une image finale également à l'infini.
Pour cela, le foyer image de l'objectif \( F'_1 \) doit coïncider avec le foyer objet de l'oculaire \( F_2 \). L'image intermédiaire \( A_1B_1 \) se forme alors dans le plan focal commun aux deux lentilles.

L'intérêt d'une lunette est d'augmenter l'angle sous lequel on observe l'objet. On caractérise cette propriété par le grossissement.

Grossissement d'une lunette astronomique

Le grossissement, noté \( G \), est défini par le rapport entre l'angle sous lequel l'image est vue à travers l'instrument (\( \theta' \)) et l'angle sous lequel l'objet est vu à l'œil nu (\( \theta \)) :

\( G = \frac{\theta'}{\theta} \)

Pour une lunette afocale, dans l'approximation des petits angles, on démontre que :

\( G = \frac{f'_1}{f'_2} \)

Avec :

• \( \theta \) et \( \theta' \) en radian (rad)
• \( f'_1 \) et \( f'_2 \) en mètre (m) (ou dans la même unité de longueur)
• \( G \) sans dimension.

Calcul d'un grossissement

Une lunette astronomique est constituée d'un objectif de distance focale \( f'_1 = 900 \text{ mm} \) et d'un oculaire de distance focale \( f'_2 = 20 \text{ mm} \).

1. La lunette est réglée pour être afocale. Quelle est la distance \( d \) entre les centres optiques \( O_1 \) et \( O_2 \) des deux lentilles ?
2. Calculer le grossissement \( G \) de cette lunette.

Corrigé

1. Pour une lunette afocale, \( F'_1 \) et \( F_2 \) sont confondus. La distance entre les centres optiques est donc la somme des distances focales :
   \( d = f'_1 + f'_2 = 900 + 20 = 920 \text{ mm} \).

2. Le grossissement se calcule par :
   \( G = \frac{f'_1}{f'_2} = \frac{900}{20} = 45 \).
   L'image est vue sous un angle 45 fois plus grand qu'à l'œil nu.

Diamètre apparent

La Lune possède un diamètre apparent (angle sous lequel on l'observe à l'œil nu) \( \theta = 9,0 \times 10^{-3} \text{ rad} \). On l'observe avec la lunette précédente (\( G = 45 \)).

Calculer l'angle \( \theta' \) sous lequel on voit l'image finale de la Lune.

Corrigé

Par définition du grossissement : \( G = \frac{\theta'}{\theta} \).
On en déduit : \( \theta' = G \times \theta = 45 \times 9,0 \times 10^{-3} = 0,405 \text{ rad} \).

2. Le modèle particulaire de la lumière : les photons

Bien que la lumière possède un comportement ondulatoire (diffraction, interférences), certains phénomènes ne s'expliquent que si l'on considère la lumière comme un flux de particules sans masse appelées photons.

Énergie d'un photon

L'énergie \( E \) d'un photon est proportionnelle à la fréquence \( \nu \) de l'onde lumineuse associée :

\( E = h \cdot \nu = \frac{h \cdot c}{\lambda} \)

Avec :

• \( E \) : énergie du photon en joule (J)
• \( h \approx 6,63 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s} \) : constante de Planck
• \( \nu \) (nu) : fréquence du rayonnement en hertz (Hz)
• \( c = 3,00 \times 10^8 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \) : célérité de la lumière dans le vide
• \( \lambda \) : longueur d'onde dans le vide en mètre (m).

Remarque : L'énergie est souvent exprimée en électronvolt (eV) avec \( 1 \text{ eV} = 1,60 \times 10^{-19} \text{ J} \).

Cette quantification de l'énergie permet d'expliquer l'effet photoélectrique.

Effet photoélectrique et travail d'extraction

L'effet photoélectrique est l'émission d'électrons par un matériau (souvent métallique) lorsqu'il est éclairé par un rayonnement lumineux de fréquence suffisamment élevée.

Pour arracher un électron au métal, il faut lui fournir une énergie minimale appelée travail d'extraction, noté \( W_{ext} \) (ou \( \Phi \)).
Si l'énergie du photon incident \( E \) est supérieure à \( W_{ext} \), l'électron est éjecté avec une énergie cinétique maximale \( E_c \) telle que :

\( E_c = h\nu - W_{ext} \)

L'effet ne se produit que si \( h\nu \ge W_{ext} \), ce qui définit une fréquence seuil.

Énergie d'un photon

Un laser émet une lumière de longueur d'onde \( \lambda = 400 \text{ nm} \).
Calculer l'énergie \( E \) d'un photon associé à cette radiation en joules puis en électronvolts.

Corrigé

1. En joules :
   \( E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6,63 \times 10^{-34} \times 3,00 \times 10^8}{400 \times 10^{-9}} = 4,97 \times 10^{-19} \text{ J} \).

2. En électronvolts :
   \( E (\text{eV}) = \frac{4,97 \times 10^{-19}}{1,60 \times 10^{-19}} \approx 3,11 \text{ eV} \).

L'effet photoélectrique

Le zinc possède un travail d'extraction \( W_{ext} = 4,3 \text{ eV} \).

1. Le rayonnement de \( \lambda = 400 \text{ nm} \) de l'exercice précédent permet-il l'effet photoélectrique sur le zinc ?
2. Quel est le travail d'extraction du zinc en Joules ? Déterminer la longueur d'onde seuil \( \lambda_s \) pour ce métal.

Corrigé

1. L'énergie des photons incidents est \( E = 3,11 \text{ eV} \).
   Comme \( E < W_{ext} \) (\( 3,11 < 4,3 \)), l'énergie du photon est insuffisante pour arracher un électron. Il n'y a pas d'effet photoélectrique.

2. \( W_{ext} (\text{J}) = 4,3 \times 1,60 \times 10^{-19} = 6,88 \times 10^{-19} \text{ J} \). À la limite de l'extraction, \( E_c = 0 \), donc \( E = W_{ext} \), soit \( \frac{hc}{\lambda_s} = W_{ext} \).
   \( \lambda_s = \frac{hc}{W_{ext}} = \frac{6,63 \times 10^{-34} \times 3,00 \times 10^8}{6,88 \times 10^{-19}} \approx 2,89 \times 10^{-7} \text{ m} = 289 \text{ nm} \).
   Il faut un rayonnement ultraviolet (longueur d'onde inférieure à 289 nm) pour observer l'effet.

Exercices d'application

Exercice 1 : Grossissement et cratère lunaire

On observe la lune avec une lunette astronomique afocale constituée d'un objectif de focale \( 1,2 \text{ m} \) et d'un oculaire de focale \( 15 \text{ mm} \). On vise un cratère dont le diamètre réel est \( D = 80 \text{ km} \). La distance Terre-Lune est \( d_{TL} = 3,84 \times 10^5 \text{ km} \).

1. Calculer l'angle \( \theta \) sous lequel le cratère est vu à l'œil nu. (Rappel : \( \theta \approx \tan \theta \)).
2. Calculer le grossissement de la lunette.
3. Sous quel angle \( \theta' \) le cratère est-il vu à travers la lunette ?

Corrigé

1. \( \theta \approx \frac{D}{d_{TL}} = \frac{80}{3,84 \times 10^5} = 2,1 \times 10^{-4} \text{ rad} \).
2. \( G = \frac{f'_1}{f'_2} = \frac{1,2}{15 \times 10^{-3}} = 80 \).
3. \( \theta' = G \times \theta = 80 \times 2,1 \times 10^{-4} = 1,7 \times 10^{-2} \text{ rad} \).

Exercice 2 : Les cellules photovoltaïques

Une cellule photovoltaïque au silicium ne peut produire un courant électrique que si l'énergie du photon incident est supérieure à l'énergie de gap du semi-conducteur, qui vaut \( E_g = 1,12 \text{ eV} \) (elle joue ici le rôle de travail d'extraction).

1. Convertir cette énergie en joules.
2. En déduire la longueur d'onde maximale du spectre solaire capable de générer un courant dans cette cellule.

Corrigé

1. \( E_g = 1,12 \times 1,60 \times 10^{-19} = 1,79 \times 10^{-19} \text{ J} \).
2. L'énergie du photon doit vérifier \( E \ge E_g \), donc \( \frac{hc}{\lambda} \ge E_g \), soit \( \lambda \le \frac{hc}{E_g} \).
   \( \lambda_{max} = \frac{6,63 \times 10^{-34} \times 3,00 \times 10^8}{1,79 \times 10^{-19}} = 1,11 \times 10^{-6} \text{ m} = 1110 \text{ nm} \).
   Tout le spectre visible ainsi qu'une partie du proche infrarouge peuvent être utilisés par cette cellule.

Erreurs fréquentes

• Dans le calcul du grossissement \( G = \frac{f'_1}{f'_2} \), oublier de convertir les deux distances focales dans la même unité.
• Confondre le grandissement \( \gamma \) (rapport de tailles, vu en première) et le grossissement \( G \) (rapport d'angles).
• Dans la formule de l'énergie du photon \( E = \frac{hc}{\lambda} \), oublier de convertir la longueur d'onde \( \lambda \) en mètres.
• Confondre Joules et électronvolts lors des calculs d'effet photoélectrique. Il est impératif de tout convertir en Joules avant d'utiliser la constante de Planck \( h \).