Modéliser l’écoulement d’un fluide

Le BO

Notions et contenus	Capacités exigibles Activités expérimentales support de la formation
Poussée d’Archimède.	Expliquer qualitativement l’origine de la poussée d’Archimède. Utiliser l’expression vectorielle de la poussée d’Archimède. Mettre en œuvre un dispositif permettant de tester ou d’exploiter l’expression de la poussée d’Archimède.
Écoulement d’un fluide en régime permanent	Exploiter la conservation du débit volumique pour déterminer la vitesse d’un fluide incompressible.
Débit volumique d’un fluide incompressible. Relation de Bernoulli. Effet Venturi.	Exploiter la relation de Bernoulli, celle-ci étant fournie, pour étudier qualitativement puis quantitativement l'écoulement d'un fluide incompressible en régime permanent. Mettre en œuvre un dispositif expérimental pour étudier l’écoulement permanent d’un fluide et pour tester la relation de Bernoulli.

1. La poussée d'Archimède

Lorsqu'un corps est plongé dans un fluide (liquide ou gaz) au repos, il subit des forces pressantes sur toute sa surface en contact avec ce fluide. La pression au sein d'un fluide augmentant avec la profondeur, les forces pressantes exercées sur la partie inférieure de l'objet sont plus intenses que celles exercées sur sa partie supérieure. Cette différence de pression est à l'origine d'une force résultante verticale dirigée vers le haut, appelée poussée d'Archimède.

La poussée d'Archimède

Tout corps plongé dans un fluide au repos subit une force verticale, dirigée de bas en haut, égale au poids du volume de fluide déplacé. Son expression vectorielle est :

\[ \vec{\Pi} = - \rho_{fluide} \cdot V_{immerge} \cdot \vec{g} \]

Avec :

• \( \vec{\Pi} \) : Poussée d'Archimède en Newton (N)
• \( \rho_{fluide} \) : Masse volumique du fluide en \( kg \cdot m^{-3} \)
• \( V_{immerge} \) : Volume de la partie immergée de l'objet en \( m^3 \)
• \( \vec{g} \) : Champ de pesanteur terrestre, de norme \( g \approx 9,81 \ m \cdot s^{-2} \)

Calcul de la poussée d'Archimède

Une boule en acier de volume \( V = 2,0 \times 10^{-3} \ m^3 \) est totalement immergée dans l'eau.

Données : \( \rho_{eau} = 1,0 \times 10^3 \ kg \cdot m^{-3} \) ; \( g = 9,81 \ m \cdot s^{-2} \).

Calculer la norme de la poussée d'Archimède exercée par l'eau sur la boule.

Corrigé

La boule étant totalement immergée, le volume immergé est égal au volume total de la boule : \( V_{immerge} = V \). La norme de la poussée d'Archimède s'écrit :

\[ \Pi = \rho_{eau} \cdot V_{immerge} \cdot g \]

\[ \Pi = 1,0 \times 10^3 \times 2,0 \times 10^{-3} \times 9,81 \]

\[ \Pi = 19,6 \ N \]

2. Écoulement d'un fluide en régime permanent

Un fluide est en écoulement en régime permanent si, en tout point de l'espace, les caractéristiques macroscopiques du fluide (vitesse, pression) sont indépendantes du temps.

Pour quantifier cet écoulement, on utilise la notion de débit volumique.

Débit volumique d'un fluide incompressible

Le débit volumique, noté \( D_v \), correspond au volume de fluide traversant une section de canalisation par unité de temps :

\[ D_v = \frac{V}{\Delta t} = S \cdot v \]

Avec :

• \( D_v \) : Débit volumique en \( m^3 \cdot s^{-1} \)
• \( V \) : Volume traversant la section en \( m^3 \)
• \( \Delta t \) : Durée de l'écoulement en \( s \)
• \( S \) : Aire de la section droite de la canalisation en \( m^2 \)
• \( v \) : Vitesse moyenne d'écoulement du fluide en \( m \cdot s^{-1} \)

Dans le cas d'un fluide incompressible (la quasi-totalité des liquides), la masse volumique est constante. La matière ne s'accumulant pas, le débit volumique se conserve le long de l'écoulement.

Conservation du débit volumique

Lors de l'écoulement en régime permanent d'un fluide incompressible dans une canalisation, le débit volumique est constant :

\[ D_{v1} = D_{v2} \iff S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2 \]

Ainsi, lors d'un rétrécissement de la section (\( S_2 < S_1 \)), la vitesse d'écoulement augmente (\( v_2 > v_1 \)).

Vitesse d'un fluide et rétrécissement

L'eau circule dans un tuyau cylindrique de diamètre \( D_1 = 4,0 \ cm \) avec une vitesse \( v_1 = 1,5 \ m \cdot s^{-1} \). Le tuyau se termine par un embout de diamètre \( D_2 = 1,0 \ cm \).

Calculer la vitesse d'éjection \( v_2 \) de l'eau.

Corrigé

On considère l'eau comme un fluide incompressible en régime permanent. Il y a donc conservation du débit volumique :

\[ S_1 \cdot v_1 = S_2 \cdot v_2 \]

Soit en remplaçant la section par \( S = \pi \cdot \frac{D^2}{4} \) :

\[ \pi \cdot \frac{D_1^2}{4} \cdot v_1 = \pi \cdot \frac{D_2^2}{4} \cdot v_2 \]

En simplifiant par \( \frac{\pi}{4} \), on isole \( v_2 \) :

\[ v_2 = v_1 \cdot \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 \]

\[ v_2 = 1,5 \times \left(\frac{4,0}{1,0}\right)^2 = 1,5 \times 16 = 24 \ m \cdot s^{-1} \]

3. Relation de Bernoulli et effet Venturi

Le théorème de Bernoulli traduit la conservation de l'énergie mécanique pour un fluide parfait (sans frottements ni viscosité) et incompressible en écoulement permanent.

Relation de Bernoulli

Pour un fluide incompressible de masse volumique \( \rho \) en écoulement permanent, la grandeur suivante est constante le long d'une ligne de courant :

\[ \frac{1}{2} \rho \cdot v^2 + \rho \cdot g \cdot z + P = \text{constante} \]

Entre deux points A et B d'une même ligne de courant, on peut écrire :

\[ \textcolor{red}{\frac{1}{2} \rho \cdot v_A^2 + \rho \cdot g \cdot z_A + P_A} = \textcolor{blue}{\frac{1}{2} \rho \cdot v_B^2 + \rho \cdot g \cdot z_B + P_B } \]

Avec :

• \( \rho \) : Masse volumique du fluide en \( kg \cdot m^{-3} \)
• \( v \) : Vitesse du fluide en \( m \cdot s^{-1} \)
• \( g \) : Intensité de la pesanteur en \( m \cdot s^{-2} \)
• \( z \) : Altitude du point considéré en \( m \)
• \( P \) : Pression du fluide en Pascal (\( Pa \))

(Remarque : L'expression de la relation de Bernoulli est généralement fournie dans les sujets d'examen).

L'une des conséquences directes de la relation de Bernoulli et de la conservation du débit est l'effet Venturi.

Effet Venturi

Dans une canalisation horizontale (\( z_A = z_B \)), un rétrécissement de la section entraîne une augmentation de la vitesse d'écoulement du fluide (conservation du débit).

D'après la relation de Bernoulli, cette augmentation de la vitesse s'accompagne d'une diminution de la pression. C'est ce qu'on appelle l'effet Venturi.

Application de la relation de Bernoulli (Effet Venturi)

De l'eau (\( \rho = 1,0 \times 10^3 \ kg \cdot m^{-3} \)) s'écoule dans une canalisation horizontale.
Au point A, la vitesse est \( v_A = 2,0 \ m \cdot s^{-1} \) et la pression \( P_A = 2,5 \times 10^5 \ Pa \).
Au point B, la canalisation se rétrécit et la vitesse atteint \( v_B = 5,0 \ m \cdot s^{-1} \).

Calculer la pression \( P_B \) au point B.

Corrigé

La canalisation est horizontale, donc \( z_A = z_B \). La relation de Bernoulli se simplifie :

\[ \frac{1}{2} \rho \cdot v_A^2 + P_A = \frac{1}{2} \rho \cdot v_B^2 + P_B \]

On isole \( P_B \) :

[ P_B = P_A + \frac{1}{2} \rho \cdot (v_A^2 - v_B^2) ] Application numérique :

\[ P_B = 2,5 \times 10^5 + 0,5 \times 1,0 \times 10^3 \times (2,0^2 - 5,0^2) \]

\[ P_B = 2,5 \times 10^5 + 500 \times (4,0 - 25,0) \]

\[ P_B = 2,5 \times 10^5 + 500 \times (-21,0) \]

\[ P_B = 2,5 \times 10^5 - 10500 = 2,395 \times 10^5 \ Pa \]

La pression a bien diminué au niveau du rétrécissement, ce qui illustre l'effet Venturi.

Exercices d'application

Le château d'eau et le robinet (Formule de Torricelli)

Un réservoir de grande dimension, ouvert à l'air libre, contient de l'eau. Un robinet est situé à une profondeur \( h = 5,0 \ m \) par rapport à la surface libre de l'eau.
Données : Pression atmosphérique \( P_{atm} = 1,013 \times 10^5 \ Pa \) ; \( g = 9,81 \ m \cdot s^{-2} \).

On note A un point à la surface de l'eau et B un point à la sortie du robinet.

1. Justifier que \( P_A = P_B = P_{atm} \) et que la vitesse \( v_A \) peut être considérée comme nulle (le niveau baisse très lentement).
2. En utilisant la relation de Bernoulli fournie dans le cours, exprimer puis calculer la vitesse \( v_B \) d'éjection de l'eau.

Corrigé

1. Les points A et B sont tous deux en contact avec l'air libre, donc \( P_A = P_B = P_{atm} \). La section du réservoir étant très grande devant celle du robinet, la vitesse de descente de la surface libre est négligeable : \( v_A \approx 0 \ m \cdot s^{-1} \).

2. On applique la relation de Bernoulli entre A et B :

\[ \frac{1}{2} \rho \cdot v_A^2 + \rho \cdot g \cdot z_A + P_A = \frac{1}{2} \rho \cdot v_B^2 + \rho \cdot g \cdot z_B + P_B \]

Puisque \( P_A = P_B \) et \( v_A = 0 \), il reste :

\[ \rho \cdot g \cdot z_A = \frac{1}{2} \rho \cdot v_B^2 + \rho \cdot g \cdot z_B \]

On simplifie par \( \rho \) et on isole \( v_B \) :

\[ g \cdot (z_A - z_B) = \frac{1}{2} v_B^2 \]

Or, \( z_A - z_B = h \). Donc :

\[ v_B = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \]

\[ v_B = \sqrt{2 \times 9,81 \times 5,0} = \sqrt{98,1} \approx 9,9 \ m \cdot s^{-1} \]

Principe d'Archimède : le glaçon

Un glaçon de volume \( V = 10 \ cm^3 \) flotte à la surface de l'eau.
Données : \( \rho_{eau} = 1,0 \times 10^3 \ kg \cdot m^{-3} \), \( \rho_{glace} = 910 \ kg \cdot m^{-3} \).

1. Faire le bilan des forces exercées sur le glaçon et déterminer le volume immergé \( V_{imm} \).
2. En déduire le pourcentage du glaçon qui se trouve sous la surface de l'eau.

Corrigé

1. Le glaçon est soumis à son poids \( \vec{P} \) et à la poussée d'Archimède \( \vec{\Pi} \). Le glaçon flotte, il est en équilibre. D'après le principe d'inertie : \( \vec{P} + \vec{\Pi} = \vec{0} \), soit en norme \( P = \Pi \).

\[ m_{glace} \cdot g = \rho_{eau} \cdot V_{imm} \cdot g \]

\[ \rho_{glace} \cdot V \cdot g = \rho_{eau} \cdot V_{imm} \cdot g \]

\[ V_{imm} = V \cdot \frac{\rho_{glace}}{\rho_{eau}} \]

\[ V_{imm} = 10 \times \frac{910}{1000} = 9,1 \ cm^3 \]

1. Le pourcentage d'immersion vaut : \( \frac{V_{imm}}{V} \times 100 = 91\% \).

Erreurs fréquentes

• Lors du calcul de la poussée d'Archimède, confondre la masse volumique de l'objet solide avec celle du fluide dans lequel il est plongé. C'est bien \( \rho_{fluide} \) qui intervient dans la formule.
• Oublier de convertir les volumes en \( m^3 \) ou les aires en \( m^2 \) dans les calculs de débit volumique ou d'Archimède.
• Confondre rayon et diamètre dans le calcul de la section d'un tuyau : \( S = \pi \cdot R^2 = \pi \cdot \frac{D^2}{4} \).
• Oublier de mettre la vitesse au carré (\( v^2 \)) lors de l'utilisation de la relation de Bernoulli.
• Penser que si la vitesse augmente, la pression augmente. L'effet Venturi démontre exactement l'inverse pour un fluide en écoulement horizontal.