Étudier la dynamique d’un système électrique

1. Le condensateur et ses caractéristiques

Un condensateur est un composant électronique constitué de deux plaques conductrices, appelées armatures, séparées par un isolant (le diélectrique). Il est capable d'accumuler des charges électriques.

Capacité, charge et tension

Lorsqu'un condensateur est soumis à une tension \( u_C \), il emmagasine une charge électrique \( q \) sur son armature positive. Ces deux grandeurs sont proportionnelles :

\( q = C \cdot u_C \)

Avec :

• \( q \) : charge électrique de l'armature en coulomb (C)
• \( C \) : capacité du condensateur en farad (F)
• \( u_C \) : tension aux bornes du condensateur en volt (V)

Relation intensité-tension

En convention récepteur, l'intensité du courant \( i \) qui traverse le condensateur correspond au débit de charges électriques :

\( i = \frac{dq}{dt} \)

En combinant avec la relation précédente, et si la capacité \( C \) est constante, on obtient la relation fondamentale du condensateur :

\( i = C \cdot \frac{du_C}{dt} \)

Avec \( i \) en ampère (A) et \( \frac{du_C}{dt} \) en volt par seconde (\( \text{V}\cdot\text{s}^{-1} \)).

Un condensateur chargé stocke de l'énergie électrique, qui peut être restituée rapidement dans le circuit.

Énergie emmagasinée

L'énergie électrique stockée dans un condensateur est donnée par la formule :

\( E_C = \frac{1}{2} C \cdot u_C^2 \)

Avec :

• \( E_C \) : énergie électrique en joule (J)
• \( C \) : capacité en farad (F)
• \( u_C \) : tension en volt (V)

Calcul de charge et d'énergie

Un condensateur de capacité \( C = 4,7 \text{ \mu F} \) est soumis à une tension continue \( u_C = 12 \text{ V} \).

1. Calculer la charge électrique \( q \) accumulée sur l'armature positive.
2. Calculer l'énergie \( E_C \) emmagasinée par le condensateur.

Corrigé

1. On applique la relation de proportionnalité en convertissant la capacité en Farads :
   \( q = C \cdot u_C = 4,7 \times 10^{-6} \times 12 = 5,6 \times 10^{-5} \text{ C} \)

2. On utilise la formule de l'énergie :
   \( E_C = \frac{1}{2} C \cdot u_C^2 = \frac{1}{2} \times 4,7 \times 10^{-6} \times (12)^2 \approx 3,4 \times 10^{-4} \text{ J} \)

2. Le dipôle RC : charge et décharge

L'association en série d'un conducteur ohmique de résistance \( R \) et d'un condensateur de capacité \( C \) constitue un dipôle RC. L'évolution de la tension aux bornes du condensateur ne se fait pas instantanément.

a. L'équation différentielle de la charge

Considérons un circuit série composé d'un générateur de tension continue idéale \( E \), d'une résistance \( R \) et d'un condensateur \( C \). À \( t=0 \), on ferme le circuit.

D'après la loi des mailles :
\( E = u_R + u_C \)

D'après la loi d'Ohm pour le conducteur ohmique : \( u_R = R \cdot i \)
Or, pour le condensateur : \( i = C \cdot \frac{du_C}{dt} \), donc \( u_R = R \cdot C \cdot \frac{du_C}{dt} \).

En remplaçant \( u_R \) dans la loi des mailles, on obtient l'équation différentielle de la charge :

\( R \cdot C \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = E \)

b. Solution analytique et temps caractéristique

Solution de l'équation différentielle

La solution mathématique de cette équation différentielle (pour un condensateur initialement déchargé, \( u_C(0) = 0 \)) est de la forme :

\( u_C(t) = E \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \)

Avec :

• \( \tau = R \cdot C \) : le temps caractéristique du circuit en seconde (s).
• \( R \) en ohm (\( \Omega \)) et \( C \) en farad (F).

Lors de la décharge du condensateur dans la résistance (le générateur est retiré du circuit, \( E = 0 \)), l'équation différentielle devient :
\( R \cdot C \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = 0 \)
Et sa solution est :
\( u_C(t) = E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \)

Détermination du temps caractéristique \( \tau \)

La constante de temps \( \tau \) donne un ordre de grandeur de la durée de la charge ou de la décharge. Elle peut être déterminée graphiquement par deux méthodes :

1. Méthode des 63 % (ou 37 %) :

2. À la charge, pour \( t = \tau \), la tension atteint 63 % de sa valeur maximale : \( u_C(\tau) = 0,63 \cdot E \).

3. À la décharge, pour \( t = \tau \), la tension a perdu 63% de sa valeur et vaut \( u_C(\tau) = 0,37 \cdot E \).

4. Méthode de la tangente : La tangente à l'origine (\( t=0 \)) coupe l'asymptote horizontale (pour la charge) ou l'axe des abscisses (pour la décharge) à l'instant \( t = \tau \).

Remarque : On considère que le régime permanent est atteint (charge ou décharge terminée) au bout d'une durée \( \Delta t = 5\tau \).

Analyse dimensionnelle de \( \tau \)

Montrer par une analyse dimensionnelle que le produit \( R \cdot C \) est homogène à un temps.

Corrigé

D'après la loi d'Ohm (\( u = R \cdot i \)), on a \( [R] = \frac{[U]}{[I]} \).
D'après la relation du condensateur (\( i = C \frac{du}{dt} \)), on a \( [C] = \frac{[I] \cdot [T]}{[U]} \).
En effectuant le produit :
\( [R \cdot C] = [R] \cdot [C] = \frac{[U]}{[I]} \cdot \frac{[I] \cdot [T]}{[U]} = [T] \). Le produit \( R \cdot C \) s'exprime bien en secondes.

Exercices d'application

Exercice 1 : Le flash d'appareil photo

Le principe d'un flash d'appareil photo repose sur la décharge très rapide d'un condensateur dans un tube à éclats (assimilable à une résistance). Le condensateur de capacité \( C = 150 \text{ \mu F} \) est d'abord chargé à l'aide d'un circuit électronique jusqu'à une tension \( U_{max} = 300 \text{ V} \).

1. Calculer l'énergie électrique emmagasinée par le condensateur avant le déclenchement du flash.
   
2. Lors de la décharge, on souhaite que le condensateur libère la quasi-totalité de son énergie (soit au bout de \( 5\tau \)) en un temps très bref de \( 3,0 \text{ ms} \). Quelle doit être la valeur de la résistance \( R \) du tube à éclats ?

Corrigé

1. Énergie emmagasinée :
   \( E_C = \frac{1}{2} C \cdot U_{max}^2 = \frac{1}{2} \times 150 \times 10^{-6} \times (300)^2 = 6,75 \text{ J} \).

2. On sait que la décharge totale dure environ \( 5\tau \).
   On a donc : \( 5\tau = 3,0 \times 10^{-3} \text{ s} \), d'où \( \tau = \frac{3,0 \times 10^{-3}}{5} = 6,0 \times 10^{-4} \text{ s} \).
   Or, \( \tau = R \cdot C \), on isole donc \( R \) :
   \( R = \frac{\tau}{C} = \frac{6,0 \times 10^{-4}}{150 \times 10^{-6}} = 4,0 \text{ } \Omega \).

Exercice 2 : Capteur capacitif d'humidité

Certains capteurs d'humidité sont basés sur un condensateur dont le diélectrique est sensible à l'humidité. La capacité \( C \) du condensateur varie alors en fonction de l'humidité relative de l'air.
On insère ce capteur dans un circuit RC série avec un générateur \( E = 5,0 \text{ V} \) et une résistance \( R = 100 \text{ k}\Omega \). Lors d'une mesure, on constate graphiquement que lors de la charge, la tension atteint \( 3,15 \text{ V} \) à l'instant \( t = 2,5 \text{ ms} \).

1. Que représente la tension de \( 3,15 \text{ V} \) par rapport à \( E \) ? Que peut-on en déduire pour la constante de temps \( \tau \) ?
2. En déduire la capacité \( C \) du capteur lors de cette mesure.

Corrigé

1. On calcule le rapport : \( \frac{3,15}{5,0} = 0,63 \), soit 63 %.
   La tension ayant atteint 63 % de sa valeur maximale \( E \), l'instant correspondant correspond exactement à la constante de temps du circuit.
   On en déduit que \( \tau = 2,5 \text{ ms} \).

2. On utilise la relation \( \tau = R \cdot C \) :
   \( C = \frac{\tau}{R} = \frac{2,5 \times 10^{-3}}{100 \times 10^3} = 2,5 \times 10^{-8} \text{ F} = 25 \text{ nF} \).

Erreurs fréquentes

• Oublier de convertir la capacité \( C \) en farads (F) lors de l'application de la formule de la constante de temps \( \tau = R \cdot C \) (souvent donnée en \( \mu F \), \( nF \) ou \( pF \)).
• Oublier de convertir la résistance \( R \) en ohms (\( \Omega \)) lorsqu'elle est donnée en kilo-ohms (\( k\Omega \)).
• Écrire \( u_C = R \cdot i \) au lieu de \( u_R = R \cdot i \). C'est le conducteur ohmique qui obéit à la loi d'Ohm, pas le condensateur.
• Confondre l'évolution de l'intensité \( i(t) \) et de la tension \( u_C(t) \) : lors de la charge d'un condensateur, la tension augmente mais l'intensité du courant diminue jusqu'à s'annuler (le condensateur se comporte alors comme un interrupteur ouvert).