Étudier la dynamique d’un système électrique
Schéma
1. Le condensateur et ses caractéristiques⚓︎
Un condensateur est un composant électronique constitué de deux plaques conductrices, appelées armatures, séparées par un isolant (le diélectrique). Les électrons ne peuvent pas traverser cet isolant et sous l'effet de la tension d'un générateur, il vont venir s'accumuler sur une des armatures faisant apparaître du côté de leur accumulation une charge \(-q\).
Comme par convention on considère que ce sont des charges positives \(q\) qui circulent dans le circuit, on représentera celles-ci s'accumuler sur l'armature opposée
| Condensateur "vide" | Condensateur "en charge" |
 |
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| A l'équilibre il y a autant de charge électriques sur chaque armature : la tension aux bornes du condensateur est nulle | Sous l'effet d'un générateur, les électrons se mettent en mouvement dans le sens inverse du courant : ils quittent une armature et s'accumulent sur l'autre. La différence de charges entre les 2 armatures crée une tension aux bornes du condensateur, proportionnelle à l'écart de charges |
Capacité, charge et tension
Lorsqu'un condensateur est soumis à une tension \( u_C \), il emmagasine une charge électrique \( q \) sur son armature positive. Ces deux grandeurs sont proportionnelles :
Avec :
- \( q \) : charge électrique de l'armature en coulomb (C)
- \( C \) : capacité du condensateur en farad (F)
- \( u_C \) : tension aux bornes du condensateur en volt (V)
Qu'est ce que la capacité d'un condensateur ?
On peut se représenter la capacité \(C\) d'un condensateur par l'espace disponible sur chaque armature pour accumuler les charges électriques. En effet comme les charges de même signe se repoussent elles ont tendance quitter l'armature.
- Elle dépend donc logiquement de la surface \(S\) des armatures car plus la surface est grande, moins les charges se repoussent,
- de la distance \(d\) entre les armatures : plus celle-ci est faible et plus les charges d'une armatures sont attirées par les charges opposées situées sur l'autre armatures,
- de la nature de l'isolant séparant les 2 armatures par sa permittivité diélectrique \(\epsilon\) (lettre grecque epsilon minuscule).
Avec :
- \(C\) en farads \(F\)
- \(S\) en \(m^2\)
- \(d\) en \(m\)
- \(\epsilon\) en \(F \cdot m^{-1}\)
Relation intensité-tension
Comme l'intensité \( i \) correspond au nombre de charges électriques \( q \) qui traversent une section de circuit électrique dans un intervalle de temps donné, on peut relier l'intensité \( i \) dans la branche du condensateur à la variation de charge électrique sur ses armatures \(\frac{dq}{dt} \).
- En convention récepteur, le courant charge le condensateur et donc la charge électrique sur ses armatures augmente :
- En convention générateur, le courant décharge le condensateur et donc la charge électrique sur ses armatures décroït :
En combinant avec la relation précédente, et si la capacité \( C \) est constante, on obtient la relation fondamentale du condensateur :
| convention récepteur | convention générateur |
|---|---|
| \(i = C \cdot \frac{du_C}{dt} \) | \(i = - C \cdot \frac{du_C}{dt} \) |
| car \(u_C\) croît | car \(u_C\) décroît |
Avec :
- \( i \) en ampère (A)
- \( \frac{du_C}{dt} \) en volt par seconde (\( \text{V}\cdot\text{s}^{-1} \)).
Un condensateur chargé stocke de l'énergie électrique, qui peut être restituée rapidement dans le circuit.
Énergie emmagasinée
L'énergie électrique stockée dans un condensateur est donnée par la formule :
Avec :
- \( E_C \) : énergie électrique en joule (J)
- \( C \) : capacité en farad (F)
- \( u_C \) : tension en volt (V)
Calcul de charge et d'énergie
Un condensateur de capacité \( C = 4,7 µF \) est soumis à une tension continue \( u_C = 12 V \).
- Calculer la charge électrique \( q \) accumulée sur l'armature positive.
- Calculer l'énergie \( E_C \) emmagasinée par le condensateur.
Corrigé
-
On applique la relation de proportionnalité en convertissant la capacité en Farads :
\( q = C \cdot u_C = 4,7 \times 10^{-6} \times 12 = 5,6 \times 10^{-5} \text{ C} \) -
On utilise la formule de l'énergie :
\( E_C = \frac{1}{2} C \cdot u_C^2 = \frac{1}{2} \times 4,7 \times 10^{-6} \times (12)^2 \approx 3,4 \times 10^{-4} \text{ J} \)
2. Le dipôle RC : charge et décharge⚓︎
L'association en série d'un conducteur ohmique de résistance \( R \) et d'un condensateur de capacité \( C \) constitue un dipôle RC. L'évolution de la tension aux bornes du condensateur ne se fait pas instantanément.
En fonction du régime dans lequel on l'utilise, on ne le représentera pas dans la même convention :
| Charge | Décharge |
|---|---|
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 |
| Convention récepteur | Convention générateur |
a. Charge du condensateur⚓︎
Considérons un circuit série composé d'un générateur de tension continue idéale \( G \), d'une résistance \( R \) et d'un condensateur \( C \).
À \( t=0 \), on ferme le circuit.
- D'après la loi des mailles : \( u_G = u_R + u_C \)
- D'après la loi d'Ohm pour le conducteur ohmique : \( u_R = R \cdot i \)
-
Or, pour le condensateur :
- \(q = C \cdot u_c\) donc \(\frac{dq}{dt} = \frac{d(C \cdot u_c)}{dt} = C \cdot \frac{d(u_c)}{dt}\) car C est constant
- comme \(i = \frac{dq}{dt}\) on a \(i = C \cdot \frac{d(u_c)}{dt}\)
-
On peut remplacer \(i\) par \(C \cdot \frac{d(u_c)}{dt}\) pour la tension aux bornes de la résistance \(u_r=R \cdot C \cdot \frac{du_c}{dt}\).
Equation de la charge
En remplaçant \( u_R \) dans la loi des mailles, on obtient l'équation différentielle de la charge :
Solution de l'équation différentielle de la charge
La solution mathématique de cette équation différentielle (pour un condensateur initialement déchargé, \( u_C(0) = 0 \)) est de la forme :
Avec :
- \( \tau = R \cdot C \) : le temps caractéristique du circuit en seconde (s).
- \( R \) en ohm (\( \Omega \)) et \( C \) en farad (F).
b. Décharge du condensateur⚓︎
Lors de la décharge du condensateur dans la résistance, l'équation différentielle devient :
Equation de la décharge
Solution de l'équation différentielle de la décharge
Et sa solution est :
c. Détermination du temps caractéristique \( \tau \)⚓︎
La constante de temps \( \tau \) donne un ordre de grandeur de la durée de la charge ou de la décharge. Elle peut être déterminée graphiquement par deux méthodes :
Méthode des 63 % (ou 37 %) :
- À la charge, pour \( t = \tau \), la tension atteint 63% de sa valeur maximale : \( u_C(\tau) = 0,63 \cdot u_G \).
- À la décharge, pour \( t = \tau \), la tension a perdu 63% de sa valeur et vaut \( u_C(\tau) = 0,37 \cdot u_G \).
Méthode de la tangente : La tangente à l'origine (\( t=0 \)) coupe l'asymptote horizontale (pour la charge) ou l'axe des abscisses (pour la décharge) à l'instant \( t = \tau \).
| Charge pour \(\tau = 10ms \) | Décharge pour \(\tau = 10ms \) |
|---|---|
| Aspect de la courbe de charge | Aspect de la courbe de décharge |
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| Méthode de la tangente charge | Méthode de la tangente décharge |
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| Méthode des 63% charge | Méthode des 37% décharge |
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Régime permanent
On considère que le régime permanent est atteint (charge ou décharge terminée) au bout d'une durée \( \Delta t = 5\tau \).
Analyse dimensionnelle de \( \tau \)
Montrer par une analyse dimensionnelle que le produit \( R \cdot C \) est homogène à un temps.
Corrigé
D'après la loi d'Ohm (\( u = R \cdot i \)), on a \( [R] = \frac{[U]}{[I]} \).
D'après la relation du condensateur (\( i = C \frac{du}{dt} \)), on a \( [C] = \frac{[I] \cdot [T]}{[U]} \).
En effectuant le produit :
\( [R \cdot C] = [R] \cdot [C] = \frac{[U]}{[I]} \cdot \frac{[I] \cdot [T]}{[U]} = [T] \).
Le produit \( R \cdot C \) s'exprime bien en secondes.
Exercices d'application⚓︎
Exercice 1 : Le flash d'appareil photo
Le principe d'un flash d'appareil photo repose sur la décharge très rapide d'un condensateur dans un tube à éclats (assimilable à une résistance). Le condensateur de capacité \( C = 150 \text{ µF} \) est d'abord chargé à l'aide d'un circuit électronique jusqu'à une tension \( U_{max} = 300 \text{ V} \).
- Calculer l'énergie électrique emmagasinée par le condensateur avant le déclenchement du flash.
- Lors de la décharge, on souhaite que le condensateur libère la quasi-totalité de son énergie (soit au bout de \( 5\tau \)) en un temps très bref de \( 3,0 \text{ ms} \). Quelle doit être la valeur de la résistance \( R \) du tube à éclats ?
Corrigé
-
Énergie emmagasinée :
\( E_C = \frac{1}{2} C \cdot U_{max}^2 = \frac{1}{2} \times 150 \times 10^{-6} \times (300)^2 = 6,75 \text{ J} \). -
On sait que la décharge totale dure environ \( 5\tau \).
On a donc : \( 5\tau = 3,0 \times 10^{-3} \text{ s} \), d'où \( \tau = \frac{3,0 \times 10^{-3}}{5} = 6,0 \times 10^{-4} \text{ s} \).
Or, \( \tau = R \cdot C \), on isole donc \( R \) :
\( R = \frac{\tau}{C} = \frac{6,0 \times 10^{-4}}{150 \times 10^{-6}} = 4,0 \text{ } \Omega \).
Exercice 2 : Capteur capacitif d'humidité
Certains capteurs d'humidité sont basés sur un condensateur dont le diélectrique est sensible à l'humidité. La capacité \( C \) du condensateur varie alors en fonction de l'humidité relative de l'air.
On insère ce capteur dans un circuit RC série avec un générateur \( E = 5,0 \text{ V} \) et une résistance \( R = 100 \text{ k}\Omega \). Lors d'une mesure, on constate graphiquement que lors de la charge, la tension atteint \( 3,15 \text{ V} \) à l'instant \( t = 2,5 \text{ ms} \).
- Que représente la tension de \( 3,15 \text{ V} \) par rapport à \( E \) ? Que peut-on en déduire pour la constante de temps \( \tau \) ?
- En déduire la capacité \( C \) du capteur lors de cette mesure.
Corrigé
-
On calcule le rapport : \( \frac{3,15}{5,0} = 0,63 \), soit 63 %.
La tension ayant atteint 63 % de sa valeur maximale \( E \), l'instant correspondant correspond exactement à la constante de temps du circuit.
On en déduit que \( \tau = 2,5 \text{ ms} \). -
On utilise la relation \( \tau = R \cdot C \) :
\( C = \frac{\tau}{R} = \frac{2,5 \times 10^{-3}}{100 \times 10^3} = 2,5 \times 10^{-8} \text{ F} = 25 \text{ nF} \).
Erreurs fréquentes
- Oublier de convertir la capacité \( C \) en farads (F) lors de l'application de la formule de la constante de temps \( \tau = R \cdot C \) (souvent donnée en \( \mu F \), \( nF \) ou \( pF \)).
- Oublier de convertir la résistance \( R \) en ohms (\( \Omega \)) lorsqu'elle est donnée en kilo-ohms (\( k\Omega \)).
- Écrire \( u_C = R \cdot i \) au lieu de \( u_R = R \cdot i \). C'est le conducteur ohmique qui obéit à la loi d'Ohm, pas le condensateur.
- Confondre l'évolution de l'intensité \( i(t) \) et de la tension \( u_C(t) \) : lors de la charge d'un condensateur, la tension augmente mais l'intensité du courant diminue jusqu'à s'annuler (le condensateur se comporte alors comme un interrupteur ouvert).