Cours

Cours

Le Bulletin Officiel

Ce bulletin contient le programme officiel de mathématiques en 1^ère STMG.
Il est également présent au début de votre livre.
voir le programme

A - Information chiffrée

voir le cours

B - Les fonctions

voir le cours

C - Les suites

voir le cours

D - Statistiques et probabilités

I - Statistiques

1- Médiane et quartiles
Dans un ensemble de valeurs, la médiane m est la valeur telle que le nombre de valeurs de l'ensemble supérieures ou égales à m est égal au nombre de valeurs del'ensemble inférieures ou égales à M.
De la même façon, les quartiles Q₁, Q₂ et Q₃ coupent l'ensemble en 4 sous ensembles ayant un nombre de valeurs identiques. Par ailleurs Q₂ n'est autre que la médiane M.
Exemple : Un professeur a donné les notes suivantes au dernier contrôle (toute ressemblance avec les résultats réels du contrôle 3 serait purement fortuite).

Il y a 24 notes en tout, ce qui fait que la médiane sera la valeur comprise entre la 12^ème et la 13^ème note : c'est donc 6,5.
Le premier quartile Q₁ sera entre la 6^ème et la 7^ème note, et Q₃ entre la 18^ème et la 19^ème note : Q₁ = 5,75 et Q₂= 9.

2- Moyenne et écart-type
Si la médiane et les quartiles ne nécessitent aucun calcul, il est cependant plus facile pour une machine de calculer la moyenne : Il suffit de multiplier chaque note par le nombre de personnes qui l'ont obtenue et diviser par le nombre total de personnes.
Dans le cas précédent, la moyenne de la classe est donc de :

L'écart-type σ par rapport à la moyenne a la même fonction que les quartiles par rapport à la médiane : permettre de savoir si une série de valeurs est très disparate ou très homogène : plus les valeurs seront disparates, et plus l'écart-type sera grand.
Remarque : la formule de l'écart-type σ n'est pas à connaître, cependant savoir l'appliquer est requis.

Pour calculer un écart-type :

1. Calculer la moyenne
2. Ajouter une ligne au tableau et calculer le carré de toutes les valeurs
3. Une fois cette ligne terminée, en calculer la moyenne
4. En retrancher la moyenne calculée au 1. élevée au carré : on a alors calculé la variance V.
5. Calculer la racine carrée du résultat
6. Croiser les doigts pour ne pas avoir fait d'erreur d'étourderie !

Exemple avec les notes du contrôle

La moyenne a été calculée auparavant et vaut 7,10. On calcule maintenant la moyenne des carrés :

3- Utiliser la calculatrice
Il vous est demandé de savoir utiliser votre calculatrice de façon à pouvoir calculer médiane, quartiles, moyenne et écart-type !

II - Probabilités

1. Introduction
On joue au jeu de "pile ou face" avec une pièce non truquée. On note la probabilité de faire "face" P(F) et celle de faire "pile" P(P), que l'on notera plutôt P(F).
Puisque la pièce est équilibrée, P(F) = P(F) = 0,5.
On calcule le score obtenu à ce jeu en ajoutant 1 pour chaque "face" obtenue et 0 dans le cas contraire.
On cherche dans un jeu à 3 lancers successifs à connaître la probabilité de faire un score de 0, 1, 2 ou 3.

2. Schéma de Bernoulli
Définition :Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l'une n'influe pas sur le résultat de l'autre.
C'est le cas dans un lancer de pièce, puisque le fait d'avoir eu "face" une fois ne permet pas de prévoir le prochain lancer.
Définition :Soit E une expérience aléatoire ne comportant que deux issues : l'une notée S et appelée "succès" et l'autre notée S et appelée "échec". On note p la probabilité de S et q celle de S avec q = 1 - p. Le fait de répéter n fois l'expérience E dans des conditions indépendantes constitue un schéma de Bernoulli de paramètre n et p.
Dans notre cas, on constitue donc un schéma de Bernoulli de paramètre 3 et 0,5.
Propriété : Dans un schéma de Bernoulli, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
La probabilité de faire "face"-"pile"-"face" est donc de 0,5*0,5*0,5 = 0,125

2. loi binomiale
Définition :Soit un schéma de Bernoulli constitué de n expériences et soit X le nombre de succès obtenus. On dit que X est la variable aléatoire associées à ce schéma.
Si k est un entier compris entre 0 et n, l'évènement "On a obtenu k succès" est noté (X=k) et la probabilité de cet évènement est noté P(X=k).
On notera donc la probabilité de faire un score de 1 : P(X=1) et celle de faire un score de 2 : P(X=2)
Remarque : On peut aussi noter P(X ≥ 1)...
On peut représenter le schéma de Bernoulli sous la forme d'un arbre pondéré, déjà vu dans le premier chapitre de l'année.
Définition :Dans un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, on dit que la variable aléatoire X égale au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p.

Calcul pratique de P(X=k) et P(X≤k)
Pour des valeurs trop grandes de n, il devient difficile de faire les calculs à la main. La formule n'étant pas au programme, il vous sera demandé de savoir trouver ces résultats à l'aide de la calculatrice.

4. Espérance
Un jeu de roulette suit la probabilité suivante :

On appelle espérance notée E(X) le gain moyen que peut espérer le joueur à chaque partie.
Pour le calculer, on ajoute tous les produits de chaque gain par la probabilité qui lui est attribuée, comme pour faire une moyenne.

Cas d'une loi binomiale
Dans le cas d'une loi binomiale de paramètres n et p, l'espérance correspondant au nombre moyen de succés E(X) vaut E(X)= n x p.

3. Prise de décision
a) Intervalle de fluctuation
Si on lance 10 fois de suite une pièce équilibrée et que l'on note le nombre de "face" obtenues, on remarque que l'on n'obtient pas toujours le même score.
En effet, la variable aléatoire X correspondant au nombre de "face" suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,5.

On peut dire que [4;6] est un intervalle de fluctuation du score au seuil de 0.656, et que [1;9] est un intervalle de fluctuation au seuil de 0.998, ce qui veut dire que seuls 2 tirages sur 1000 auront un score nul ou parfait.

Définition
On suppose que X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et on note F la fréquence de réalisation de X, c'est à dire F=X/n.
On partage l'ensemble des valeurs prises par X en trois parties : [0;a[ , [a;b] et ]b;n] de façon à ce que
- P(X appartient à [0;a[) = P(X appartient à ]b;n]) = 2.5 %
- P(a ≤ X ≤ b) = 95%
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est [a/n ; b/n], où a est le plus petit nombre tel que P(X≤a) > 0.025 et b le plus petit nombre tel que P(X ≤ b) ≥ 0.975

b) Prise de décision

La détermination d'un intervalle de fluctuation permet de prendre une décision lorsque l'on fait une hypothèse sur une proportion dans une population. Votre entreprise doit concevoir un siège automobile. S'il devait être capable de s'adapter à n'importe quel humain, alors il devrait être réglable pour une taille allant de celle de He Pingping (73cm) à celle de Bao Xishun (2.36m) voire à Robert Wadlow (2.72m à sa mort en 1940 et il n'avait pas fini de grandir). Autant parler de mission impossible ! On dira donc que celui-ci doit pouvoir s'adapter à la majeure partie de la population, mais on acceptera par exemple que moins de 1% de la population soit trop petite ou trop grande pour pouvoir utiliser ce siège. L'intervalle de fluctuation à 99% pour la taille française est environ [145 ; 194], votre siège devra donc être capable de s'adapter à une personne dont la taille est comprise entre 1.45m et 1.94m

Bao à gauche, He à droite

Inversement, Cela permet d'accepter ou de rejeter une hypothèse :
On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d'un caractère est p. On observe f comme fréquence de ce caractère dans un échantillon de taille n.
Soit l'hypothèse "La proportion de ce caractère dans la population est p".
Si I est l'intervalle de fluctuation de la fréquence à 95% dans les échantillons de taille n, alors si f n'appartient pas à I, on rejette cette hypothèse au seuil de confiance de 95% ; sinon on accepte cette hypothèse au seuil de 95%.