Mouvements et interactions

I- La relativité du mouvement

1) Introduction

Incident survenu dans le TGV Paris-Lyon

L'inspecteur Watson enquête sur tous les incidents, même les plus minimes. Voici un extrait du rapport d'une de ses enquêtes.
Les faits : Nous sommes le 1er avril 2013. Alors que Chloé dormait tranquillement, un individu, que l’on prénommera X, lui a collé un poisson d’avril sur le front.
Les témoignages recueillis :

  • Alice - "La victime était immobile"
  • Olivier - "X s’éloignait vers le nord"
  • Franck - "La victime et X se déplaçaient très rapidement vers le sud"
  • La vache - "Meuh"
  • Cynthia -"Je n'ai rien vu car j'étais en train de regarder les arbres qui reculaient"
Quel imbroglio ! Et pourtant aucun témoin n'a menti (sauf peut-être la vache) ou n'est fou.
Aidez l’inspecteur Watson à reconstituer la scène de l’incident.

On voit qu'une même scène peut être décrite de façon très différente en fonction du lieu où l'on se trouve. Il est donc nécessaire avant toute étude de mouvement de préciser par rapport à quel référence on l'étudie.

2) Le référentiel

C'est ce par rapport à quoi l'on va étudier un mouvement. Il n'y a pas de référentiel absolu, mais on peut en citer 3 qui sont souvent utilisés :

  • Le référentiel terrestre rattaché au sol (salle de classe, laboratoire)
    Il est utilisé pour les mouvements terrestres (vélo, voiture) et aériens (avion, oiseau)
  • Le référentiel géocentrique, positionné au centre de la Terre, mais ne tournant pas avec elle. Ainsi, le référentiel terrestre tourne autour du référentiel géocentrique en 24h.
    Il est utilisé pour le mouvement des satellites ou de la Lune.
  • Le référentiel héliocentrique, positionné au centre du Soleil, mais ne tournant pas avec lui.Le référentiel géocentrique tourne autour de lui en 365j.
    Il est utilisé dans l'étude du mouvement des planètes, comètes, astéroïdes...
Application : Calculer la vitesse à laquelle se déplace un élève assis dans une salle de cour dans
  1. le référentiel terrestre
    Dans ce référentiel, l'élève est immobile : v = 0 km/h
  2. le référentiel géocentrique
    L'élève fait le tour du référentiel en 24h.
    Il parcourt pendant ce temps le périmètre terrestre, soit à peu près 40 000 km.
    Sa vitesse est donc : v=dt=40000km24h=40000km24h=1700km/h
  3. le référentiel héliocentrique
    L'élève fait le tour du référentiel en 365j, soit 365×24=8760 h
    Pendant ce temps il parcourt l'orbite de la Terre autour du Soleil. La distance Terre-Soleil = 150 000 000 km.
    L'orbite a donc un périmètre de P=2×π×R=2×π×1,5×108km=9,4×108km
    Sa vitesse est donc : v=dt=9,4×108km8760h=107000km/h
3) Le repère

Pour décrire correctement le mouvement d'un objet dans un référentiel choisi, il faut y choisir un repère orthonormé.
Ce repère n'est en revanche pas forcément orienté selon la verticale et l'horizontale. Il peut être plus judicieux de l'orienter en fonction du mouvement étudié pour simplifier les calculs.


Etude de la chute d'une balle.
 
Etude d'une balle qui roule sur un plan incliné.

 

4) La trajectoire

Il est n'est toujours possible de parler de la trajectoire d'un objet entier, on parle donc de la trajectoire d'un point précis appartenant à l'objet.


Trajectoire de deux points d'un frisbee lancé
On distingue trois types de trajectoires :
  • Trajectoire rectiligne lorsque les points sont alignés
  • Trajectoire circulaire lorsqu'ils sont placés sur un même cercle
  • Trajectoire curviligne dans les autres cas

 

5) La vitesse
La vitesse d'un point correspond à la distance que ce point a parcouru dans un intervalle de temps donné : vitesse=distancetemps
Dans un exemple comme le cas ci-contre, il faut utiliser la relation de Pythagore pour calculer la vitesse :
vitesse=(distance sur x)2+(distance sur y)2temps=12+22Δt=50,2=11,18m.s-1
5) Vitesse et langage de programmation

Le calcul présenté précedemment est rapidement fastidieux si on le fait à la main. Un langage de programmation va permettre de faire réaliser ces opérations par l'ordinateur.
Dans le TP n°13, on a pointé la trajectoire d'une balle lancée "en cloche", on peut récupérer les coordonnées des positions successives et les intégrer dans le programme :

#coordonnées de l'objet
#pas de temps (en secondes)
delta_t=0.04#a_indiquer

x=[-0.954, -0.874, -0.795, -0.716, -0.636, -0.557, -0.477, -0.398, -0.319, -0.239, -0.16, -0.081, -0.001, 0.078, 0.157, 0.237, 0.316, 0.395, 0.475, 0.554, 0.634, 0.713, 0.792, 0.872, 0.951, 1.03, 1.11, 1.189, 1.268, 1.348, 1.427]
y=[0.06, 0.24, 0.405, 0.555, 0.689, 0.808, 0.911, 0.999, 1.072, 1.129, 1.171, 1.198, 1.209, 1.205, 1.185, 1.15, 1.1, 1.035, 0.954, 0.858, 0.746, 0.619, 0.477, 0.319, 0.146, -0.043, -0.246, -0.465, -0.7, -0.95, -1.215]
Ces valeurs, on peu les tracer sur un graphique à l'aide de la bibliothèque matplotib :
from matplotlib import pyplot as plt
#coordonnées de l'objet #pas de temps (en secondes)
delta_t=0.04#a_indiquer

x=[-0.954, -0.874, -0.795, -0.716, -0.636, -0.557, -0.477, -0.398, -0.319, -0.239, -0.16, -0.081, -0.001, 0.078, 0.157, 0.237, 0.316, 0.395, 0.475, 0.554, 0.634, 0.713, 0.792, 0.872, 0.951, 1.03, 1.11, 1.189, 1.268, 1.348, 1.427]
y=[0.06, 0.24, 0.405, 0.555, 0.689, 0.808, 0.911, 0.999, 1.072, 1.129, 1.171, 1.198, 1.209, 1.205, 1.185, 1.15, 1.1, 1.035, 0.954, 0.858, 0.746, 0.619, 0.477, 0.319, 0.146, -0.043, -0.246, -0.465, -0.7, -0.95, -1.215]

### Tracé des vecteurs normalisés
plt.rcParams['axes.formatter.use_locale'] = True
plt.figure(1, figsize=(5, 5))
plt.plot(x,y,"r.")
plt.legend(loc='upper right')
plt.xlabel("x (m)")
plt.ylabel("y (m)")
plt.title("Trajectoire de l'objet")
plt.show()
Une foix executé, ce programme affichera ce graphique :
Résultat du script
Les points rouges représentent les positions successives de la balle
Maintenant que l'on a la position de l'objet on peut demander au programme de calculer la vitesse de la balle entre chaque point :
Résultat du script
Représentation de la vitesse par des vecteurs
Dans le schéma ci-dessus, on montre comment calculer les coordonnées du vecteur déplacement entre 2 points.
La vitesse en un point donné correspond au rapport entre le vecteur formé par ce point et le point précédent et l'écart de temps séparant les 2 positions.
Cela s'écrit :
Résultat du script
Valeur de la vitesse au point D
Notation vectorielle :
Résultat du script
Valeur de la vitesse au point D